Упр.1048 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1048. Найдите значения а, при которых один из корней уравнения х2 — 3,75x + а3 = 0 является квадратом другого.

Пусть корни уравнения $$x^2-3{,}75x+a^3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём один из них является квадратом другого. Тогда можно считать, что

$$x_1=x_2^2.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=3{,}75,$$

$$x_1x_2=a^3.$$

Обозначим $$x_2=a$$, тогда $$x_1=a^2$$. Получаем

$$a^2+a=3{,}75.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+a-3{,}75=0.$$

Умножим уравнение на $$4$$:

$$4a^2+4a-15=0.$$

Найдём корни:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-15)=16+240=256,$$

$$a=\frac{-4\pm \sqrt{256}}{2\cdot 4}=\frac{-4\pm 16}{8}.$$

Тогда

$$a_1=\frac{12}{8}=1{,}5,\qquad a_2=\frac{-20}{8}=-2{,}5.$$

Проверка: при этих значениях действительно один корень равен квадрату другого.

Ответ

$$a=-2{,}5;\ 1{,}5.$$