Упр.1047 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1047.Сумма квадратов корней х1 и х2 уравнения х2 — 3ах + а2 = 0 равна 1,75. Найдите х1 и х2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1047 95

По теореме Виета для уравнения $$x^2-3ax+a^2=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=3a,\qquad x_1x_2=a^2.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$1{,}75$$, значит

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9a^2-2a^2=7a^2.$$

Тогда

$$7a^2=1{,}75,$$

$$a^2=0{,}25,\qquad a=\pm 0{,}5.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$a=0{,}5$$. Тогда

$$x^2-1{,}5x+0{,}25=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$4x^2-6x+1=0.$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 4\cdot 1=36-16=20.$$

$$x=\frac{6\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{6\pm 2\sqrt5}{8}=\frac{3\pm \sqrt5}{4}.$$

Значит, корни:

$$x_1=\frac{3+\sqrt5}{4},\qquad x_2=\frac{3-\sqrt5}{4}.$$

2) $$a=-0{,}5$$. Тогда

$$x^2+1{,}5x+0{,}25=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$4x^2+6x+1=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 4\cdot 1=36-16=20.$$

$$x=\frac{-6\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{-6\pm 2\sqrt5}{8}=\frac{-3\pm \sqrt5}{4}.$$

Значит, корни:

$$x_1=\frac{-3+\sqrt5}{4},\qquad x_2=\frac{-3-\sqrt5}{4}.$$

Ответ

$$\frac{3+\sqrt5}{4},\ \frac{3-\sqrt5}{4}$$ или $$\frac{-3+\sqrt5}{4},\ \frac{-3-\sqrt5}{4}.$$