Упр.1046 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1046. Найдите область значений функции у=x/(x2+1).

Рассмотрим функцию $$y=\frac{x}{x^2+1}.$$

Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ область определения — все действительные числа.

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$y(x^2+1)=x,$$

$$yx^2-x+y=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x.$$ Чтобы оно имело действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(-1)^2-4\cdot y\cdot y=1-4y^2\ge 0.$$

Отсюда

$$4y^2\le 1,$$

$$y^2\le \frac14,$$

$$-\frac12\le y\le \frac12.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(y)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$

Ответ

$$\left[-\frac12;\frac12\right]$$