Упр.1045 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1045 При каких значениях m квадратный трёхчлен mх2 + (т — 1)х + m — 1 принимает лишь отрицательные значения? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1045 95

Чтобы квадратный трёхчлен $$mx^2+(m-1)x+m-1$$ принимал только отрицательные значения при всех $$x$$, необходимо и достаточно, чтобы:

• старший коэффициент был отрицательным: $$m<0$$;
• дискриминант был отрицательным: $$D<0$$.

Найдём дискриминант:

$$ D=(m-1)^2-4m(m-1) $$

$$ D=m^2-2m+1-4m^2+4m=-3m^2+2m+1 $$

Требуется:

$$ -3m^2+2m+1<0 $$

Решим уравнение $$-3m^2+2m+1=0$$:

$$ D_1=2^2-4\cdot(-3)\cdot1=4+12=16 $$

$$ m_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot(-3)}=\frac{-2\pm4}{-6} $$

$$ m_1=-\frac13,\qquad m_2=1 $$

Так как коэффициент при $$m^2$$ отрицательный, то

$$ -3m^2+2m+1<0 \quad \text{при} \quad m<-\frac13 \ \text{или}\ m>1. $$

С учётом условия $$m<0$$ получаем:

$$ m<-\frac13 $$

Ответ

$$m<-\frac13$$