Упр.1044 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1044 Докажите, что многочлен х8 + х6 — 4х4 + х2 + 1 не принимает отрицательных значений. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1044 95

Преобразуем многочлен:

$$x^8+x^6-4x^4+x^2+1=(x^4-1)^2+x^6-2x^4+x^2.$$

Далее вынесем $$x^2$$ за скобки:

$$x^8+x^6-4x^4+x^2+1=(x^4-1)^2+x^2(x^4-2x^2+1).$$

Заметим, что

$$x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2.$$

Тогда

$$x^8+x^6-4x^4+x^2+1=(x^4-1)^2+x^2(x^2-1)^2.$$

Оба слагаемых неотрицательны при любом $$x$$, значит и весь многочлен неотрицателен:

$$x^8+x^6-4x^4+x^2+1\ge 0.$$

Ответ

$$x^8+x^6-4x^4+x^2+1\ge 0$$ при любом $$x$$.