Упр.1041 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) у = 2х2 — 3|x| — 2; б) у= |1×2/2 — x| -4.

а) Рассмотрим функцию $$y=2x^2-3|x|-2.$$

Так как в формуле есть модуль, запишем её по частям:

$$ y= \begin{cases} 2x^2-3x-2, & x\ge 0,\\ 2x^2+3x-2, & x<0. \end{cases} $$

График симметричен относительно оси $$Oy$$, так как функция зависит от $$|x|$$.

Найдём вершину одной из парабол. Для ветви при $$x\ge 0$$:

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}, \qquad y_0=2\left(\frac34\right)^2-3\cdot\frac34-2=-\frac{25}{8}. $$

Значит, на правой части графика вершина находится в точке $$\left(\frac34,-\frac{25}{8}\right)$$, а на левой — в симметричной точке $$\left(-\frac34,-\frac{25}{8}\right)$$.

Для построения удобно отметить также точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$ 2x^2-3|x|-2=0. $$
Положим $$t=|x|\ge 0$$. Тогда
$$ 2t^2-3t-2=0, \qquad (2t+1)(t-2)=0. $$
Отсюда $$t=2$$, значит $$|x|=2$$ и $$x=\pm 2$$.

Итак, график состоит из двух ветвей параболы, соединённых в точке $$\left(0,-2\right)$$.

б) Рассмотрим функцию $$y=\left|\frac12x^2-x\right|-4.$$

Сначала найдём, где выражение под модулем меняет знак:

$$ \frac12x^2-x=\frac12x(x-2)=0 $$

Отсюда $$x=0$$ и $$x=2$$.

Тогда

$$ y= \begin{cases} \frac12x^2-x-4, & x\le 0 \text{ или } x\ge 2,\\ -\frac12x^2+x-4, & 0\le x\le 2. \end{cases} $$

На промежутке $$0\le x\le 2$$ график — ветвь параболы, направленная вниз. Её вершина:

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot(-\frac12)}=1, \qquad y_0=-\frac12\cdot 1^2+1-4=-\frac72. $$

Значит, вершина внутренней части графика — точка $$\left(1,-\frac72\right)$$.

В точках $$x=0$$ и $$x=2$$ получаем:

$$ y=-4. $$

Следовательно, график проходит через точки $$\left(0,-4\right)$$ и $$\left(2,-4\right)$$, а вне отрезка $$[0,2]$$ совпадает с параболой $$y=\frac12x^2-x-4$$.

Ответ

а) График функции $$y=2x^2-3|x|-2$$ состоит из двух симметричных ветвей параболы; ключевые точки: $$\left(0,-2\right)$$, $$\left(\pm 2,0\right)$$, $$\left(\pm \frac34,-\frac{25}{8}\right)$$.

б) График функции $$y=\left|\frac12x^2-x\right|-4$$ задаётся по частям:
$$ y= \begin{cases} \frac12x^2-x-4, & x\le 0 \text{ или } x\ge 2,\\ -\frac12x^2+x-4, & 0\le x\le 2. \end{cases} $$
Ключевые точки: $$\left(0,-4\right)$$, $$\left(1,-\frac72\right)$$, $$\left(2,-4\right)$$.