Упр.1040 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1040 Докажите, что при любых значениях а, b и с график функции у = (х — а)(х — b) — с2 имеет хотя бы одну общую точку с осью х. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1040 95

Рассмотрим пересечение графика функции с осью $$x$$. Для этого положим $$y=0$$:

$$ (x-a)(x-b)-c^2=0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-(a+b)x+ab-c^2=0. $$

График имеет хотя бы одну общую точку с осью $$x$$ тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен:

$$ D=(a+b)^2-4(ab-c^2). $$

Преобразуем:

$$ D=a^2+2ab+b^2-4ab+4c^2=(a-b)^2+4c^2. $$

Так как $$\,(a-b)^2 \ge 0\,$$ и $$\,4c^2 \ge 0\,$$, то

$$ D=(a-b)^2+4c^2 \ge 0. $$

Следовательно, уравнение имеет хотя бы один действительный корень, а значит, график функции имеет хотя бы одну общую точку с осью $$x$$.

Ответ

Докажено, что при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ график функции имеет хотя бы одну общую точку с осью $$x$$.