Упр.1039 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1039 При каком значении а сумма квадратов корней квадратного трёхчлена х2 — (а — 2) х — а — 1 принимает наименьшее значение? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1039 95

Пусть корни квадратного трёхчлена $$x^2-(a-2)x-a-1$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=a-2, \qquad x_1x_2=-a-1.$$

Сумма квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим значения:

$$x_1^2+x_2^2=(a-2)^2-2(-a-1).$$

Упростим:

$$x_1^2+x_2^2=a^2-4a+4+2a+2=a^2-2a+6.$$

Найдём, при каком $$a$$ это выражение принимает наименьшее значение. Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$S(a)=a^2-2a+6.$$

Его минимум достигается в вершине параболы:

$$a=\frac{-(-2)}{2\cdot 1}=1.$$

При этом

$$S_{\min}=1^2-2\cdot 1+6=5.$$

Ответ

$$a=1$$