Упр.1037 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1037 Если в многочлен ах3 + bх2 + сх + d вместо а, b, с и d подставлять числа -7, 4, -3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например -7х3 + 4×2 — 3х + 6, 4х3 — 7х2 + 6x — 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1037 95

Подробный ответ

Рассмотрим любой многочлен вида $$N(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$ где числа $$a,b,c,d$$ — это перестановка чисел $$-7,\ 4,\ -3,\ 6.$$

Подставим $$x=1$$:

$$N(1)=a+b+c+d.$$

Но сумма чисел $$-7+4-3+6=0,$$ значит, при любой перестановке коэффициентов их сумма не изменится и по-прежнему будет равна нулю:

$$a+b+c+d=0.$$

Следовательно,

$$N(1)=0,$$

то есть число $$x=1$$ является корнем любого такого многочлена.