Упр.1026 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1026. Постройте график функции у = -0,5х2 + х + 1,5. При каких значениях х значение у равно нулю; больше нуля; меньше нуля? В каком промежутке эта функция возрастает и в каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1026 95

Рассмотрим функцию $$y=-0,5x^2+x+1,5.$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $$a=-0,5<0.$$

1) Найдём нули функции:

$$-0,5x^2+x+1,5=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3.$$

Значит, $$y=0$$ при $$x=-1$$ и $$x=3.$$

Так как парабола направлена вниз, то:

$$y>0 \text{ при } x\in(-1;3),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty).$$

2) Найдём вершину параболы:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2\cdot(-0,5)}=1,$$
$$y_0=-0,5\cdot 1^2+1+1,5=2.$$

Следовательно, функция возрастает на промежутке $$(-\infty;1]$$ и убывает на промежутке $$[1;+\infty).$$

3) Наибольшее значение функции равно ординате вершины:

$$y_{\max}=2.$$

Для построения графика можно отметить точки $$(-1;0),\ (3;0),\ (0;1,5),\ (1;2)$$ и провести через них параболу, ветви которой направлены вниз.

Ответ

$$y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=3;$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-1;3);$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty);$$
функция возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty);$$
наибольшее значение равно $$2.$$