Упр.1017 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1017. Найдите область определения каждого из выражений:

1. $$2x-5$$ — многочлен, поэтому область определения: $$x \in \mathbb{R}.$$

   Для выражения $$\frac{1}{2x-5}$$ знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2x-5 \ne 0,\quad x \ne 2{,}5.$$

   Для выражения $$\sqrt{2x-5}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$2x-5 \ge 0,\quad x \ge 2{,}5.$$

2. $$2x^2+7x-4$$ — многочлен, поэтому $$x \in \mathbb{R}.$$

   Для выражения $$\frac{1}{2x^2+7x-4}$$ нужно, чтобы знаменатель был отличен от нуля:

   $$2x^2+7x-4 \ne 0.$$

   Решим уравнение:

   $$ D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2\cdot 2} $$
   $$ x_1=0{,}5,\quad x_2=-4 $$

   Тогда:

   $$2x^2+7x-4=2(x-0{,}5)(x+4).$$

   Для выражения $$\sqrt{\frac{1}{2x^2+7x-4}}$$ нужно, чтобы

   $$\frac{1}{2x^2+7x-4}\ge 0.$$

   Так как числитель равен $$1>0,$$ то требуется

   $$2x^2+7x-4>0.$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-4)\cup(0{,}5;+\infty).$$

3. $$x^2+1\ge 0$$ при любом $$x\in\mathbb{R},$$ значит выражение $$\sqrt{x^2+1}$$ определено при всех действительных $$x.$$

   Выражение $$\frac{1}{x^2+1}$$ также определено при всех $$x\in\mathbb{R},$$ так как $$x^2+1>0$$ для любого действительного $$x.$$

Ответ

а) $$x\in\mathbb{R};\quad x\ne 2{,}5;\quad x\ge 2{,}5.$$
б) $$x\in\mathbb{R};\quad x\ne -4,\ x\ne 0{,}5;\quad x\in(-\infty;-4)\cup(0{,}5;+\infty).$$
в) $$x\in\mathbb{R};\quad x\in\mathbb{R};\quad x\in\mathbb{R}.$$