Контрольные вопросы Параграф 10 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Дайте определение возрастающей последовательности; убывающей последовательности. Приведите примеры.
3. Какая последовательность называется ограниченной сверху; ограниченной снизу; ограниченной? Приведите пример ограниченной последовательности и пример последовательности, которая не ограничена ни сверху, ни снизу.
4. Сформулируйте принцип математической индукции.

1. Способы задания последовательностей:

   последовательность можно задать формулой n-го члена, рекуррентно или словесно.

   Примеры:

   • $$a_n = (-1)^n \cdot 5n$$ — формулой n-го члена;
   • $$a_1 = 2,\quad a_n = a_{n-1} — 4$$ — рекуррентно;
   • последовательность простых чисел, записанных по возрастанию, начиная с 5 — словесно.

2. Определения возрастающей и убывающей последовательностей:

   Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего:

   $$a_{n+1} > a_n.$$

   Примеры возрастающих последовательностей:

   $$a_n = 5n,\quad b_n = 2n + 3,\quad c_n = 5 \cdot 7^n.$$

   Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего:

   $$a_{n+1} < a_n.$$

   Примеры убывающих последовательностей:

   $$a_n = \frac{1}{n},\quad b_n = 5 — n,\quad c_n = 3 \cdot (0{,}1)^n.$$

3. Ограниченность последовательности:

   Последовательность называется ограниченной сверху, если существует число $$M$$ такое, что $$a_n \le M$$ при любом $$n$$.

   Последовательность называется ограниченной снизу, если существует число $$m$$ такое, что $$a_n \ge m$$ при любом $$n$$.

   Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

   Пример ограниченной последовательности:

   $$a_n = \frac{5}{n}.$$

   Пример последовательности, не ограниченной ни сверху, ни снизу:

   $$b_n = (-3)^n.$$

4. Принцип математической индукции:

   Если некоторое утверждение верно при $$n = 1$$ и из его справедливости при $$n = k$$ следует его справедливость при $$n = k + 1$$, то это утверждение верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

1) Формулой n-го члена, рекуррентно, словесно. 2) Возрастающая: $$a_{n+1} > a_n$$; убывающая: $$a_{n+1} < a_n$$. 3) Ограниченная сверху: $$a_n \le M$$; ограниченная снизу: $$a_n \ge m$$; ограниченная — и сверху, и снизу. 4) Если утверждение верно при $$n=1$$ и из верности при $$n=k$$ следует верность при $$n=k+1$$, то оно верно для всех натуральных $$n$$.