Контрольные вопросы Параграф 7 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решением уравнения с двумя переменными называют такую пару чисел, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство. Например, для уравнения $$2x+3y=8$$ решением является пара $$x=1,\ y=2$$, так как $$2\cdot 1+3\cdot 2=8$$.

2. Графиком уравнения с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

3. Чтобы узнать степень уравнения с двумя переменными, нужно привести его к виду, где правая часть равна нулю, а левая — многочлен стандартного вида. Степень этого многочлена и есть степень уравнения. Например:

$$x(x+y)^2=x+1 \;\Rightarrow\; x(x+y)^2-x-1=0,$$

$$xy^2+x^2-x-1=0.$$

Здесь степень уравнения равна $$3$$. Если уравнение имеет вид $$k=1+2=3$$, то его степень равна $$1$$.

4. Графиком уравнения первой степени с двумя переменными является прямая.

5. Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство, называется решением системы.

6. Графический способ решения системы двух уравнений с двумя переменными состоит в том, что строят графики обоих уравнений и находят координаты их общих точек.

7. Решение системы способом подстановки:

1. из одного уравнения выражают одну переменную через другую;
2. подставляют полученное выражение во второе уравнение;
3. решают получившееся уравнение;
4. находят значение второй переменной.

8. Решение системы способом сложения:

1. при необходимости умножают левую и правую части уравнений на некоторые числа;
2. складывают почленно данные уравнения;
3. решают получившееся уравнение;
4. находят значение второй переменной.

1. Уравнением с параметром называют уравнение, которое содержит неизвестное число, при этом его значение фиксировано и определяется в каждом конкретном случае. Например: $$x+a=0,$$ $$ax^2+bx=0,$$ $$\frac{k}{x}=0.$$

2. Решить уравнение с параметром — значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующие корни.

3. Рассмотрим уравнения с параметром.

$$ax-5x=a^2-4a+5$$

$$\left(a-5\right)x=a^2-4a+5$$

Если $$a\ne 5$$, то

$$x=\frac{a^2-4a+5}{a-5}.$$

Если $$a=5$$, то корней нет.

$$2x^2-4x+a=0$$

$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot a=16-8a=8(2-a).$$

Тогда

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8a}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$

Если $$a>2$$, то корней нет.

Если $$a=2$$, то $$x=1$$.

Если $$a<2$$, то

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$

4. Решим уравнение

$$\frac{a}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{7}{x^2-4}.$$

Область определения:

$$x\ne 2,\quad x\ne -2.$$

Умножим обе части на $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:

$$a(x+2)-4(x-2)=7.$$

$$ax+2a-4x+8=7.$$

$$\left(a-4\right)x= -2a-1.$$

$$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$

Проверим ограничения:

$$\frac{2a+1}{4-a}\ne 2,\quad a\ne 4.$$

Из $$\frac{2a+1}{4-a}\ne 2$$ получаем

$$2a+1\ne 8-2a,$$

$$4a\ne 7,$$

$$a\ne \frac{7}{4}.$$

Итак, если $$a\ne 4$$ и $$a\ne \frac{7}{4}$$, то

$$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$

Если $$a=4$$ или $$a=\frac{7}{4}$$, то корней нет.