Контрольные вопросы Параграф 16 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Какое неравенство называют иррациональным? Как решают неравенства вида (f(x))^(1/n) < g(x) и (f(x))^(1/n) > g(x) при чётном n и при нечётном n?

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

Если $$n$$ — чётное, то уравнение вида $$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$$ равносильно системе

$$ \begin{cases} f(x)=g^n(x),\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$

Если $$n$$ — нечётное, то

$$\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \iff f(x)=g^n(x).$$

Иррациональным неравенством называют неравенство, содержащее переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.

Для неравенств вида $$\sqrt[n]{f(x)}g(x)$$ при чётном $$n$$ учитывают область определения и знак правой части:

$$ \sqrt[n]{f(x)}0,\\ f(x)

$$ \sqrt[n]{f(x)}>g(x) \iff \begin{cases} g(x)<0,\\ f(x)\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)>g^n(x). \end{cases} $$

При нечётном $$n$$:

$$\sqrt[n]{f(x)}

$$\sqrt[n]{f(x)}>g(x) \iff f(x)>g^n(x).$$

Ответ

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем. При чётном $$n$$ уравнение $$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$$ решают с учётом условия $$g(x)\ge 0$$, при нечётном $$n$$ оно равносильно $$f(x)=g^n(x)$$.

Иррациональное неравенство — это неравенство, содержащее переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем. При чётном $$n$$ неравенства $$\sqrt[n]{f(x)}g(x)$$ решают с учётом области определения и знака $$g(x)$$; при нечётном $$n$$ они равносильны соответственно $$f(x)g^n(x)$$.