Контрольные вопросы Параграф 6 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Задание учебника 2026 года
- Объясните, какое уравнение называется уравнением с параметром. Приведите примеры.
- Что значит решить уравнение с параметром?
- На примере уравнений $$ax-5x=a^2-4a+5$$ и $$2x^2-4x+a=0$$ с параметром $$a$$ объясните, как решают линейные и квадратные уравнения с параметром.
- На примере уравнения $$\frac{a}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{7}{x^2-4}$$ объясните, как решают дробно-рациональное уравнение с параметром.
Задание учебника 2023 года
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=b$$, $$|f(x)|
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=g(x)$$, $$|f(x)|
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=|g(x)|$$, $$|f(x)|<|g(x)|$$, $$|f(x)|>|g(x)|$$.
- На примере уравнения $$|x+1|+|x-4|=7$$ и неравенства $$|x|+|x-2|<3$$ объясните, как решают уравнения и неравенства такого вида, освобождаясь от знака модуля на промежутках, в которых выражение, записанное под знаком модуля, сохраняет знак.
Уравнением с параметром называют уравнение, содержащее неизвестное число и параметр, значение которого считается фиксированным, но может быть любым в разных случаях.
Примеры: $$x+a=0,$$ $$ax^2+bx=0,$$ $$\frac{k}{x}=0.$$
Решить уравнение с параметром — значит для каждого допустимого значения параметра найти все соответствующие ему корни или установить, что корней нет.
Рассмотрим линейное уравнение $$ax-5x=a^2-4a+5.$$
Соберём слагаемые с $$x$$:
$$(a-5)x=a^2-4a+5.$$
Если $$a\ne 5,$$ то
$$x=\frac{a^2-4a+5}{a-5}.$$
Если $$a=5,$$ получаем $$0\cdot x=10,$$ то есть корней нет.
Теперь рассмотрим квадратное уравнение $$2x^2-4x+a=0.$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot a=16-8a=8(2-a).$$
Тогда
$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8a}}{4} =\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$
Корни существуют, если $$D\ge 0,$$ то есть $$a\le 2.$$
Если $$a>2,$$ корней нет; если $$a=2,$$ то $$x=1;$$ если $$a<2,$$ то
$$x=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$
Рассмотрим дробно-рациональное уравнение
$$\frac{a}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{7}{x^2-4}.$$
Область допустимых значений:
$$x\ne 2,\qquad x\ne -2.$$
Умножим обе части на $$x^2-4=(x-2)(x+2):$$
$$a(x+2)-4(x-2)=7.$$
Раскроем скобки:
$$ax+2a-4x+8=7,$$
$$(a-4)x= -2a-1.$$
Отсюда при $$a\ne 4$$
$$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$
Теперь проверим, не нарушает ли найденное значение ОДЗ. Если
$$\frac{2a+1}{4-a}=2,$$
то
$$2a+1=8-2a,\qquad 4a=7,\qquad a=\frac74.$$
При $$a=4$$ уравнение принимает вид $$0\cdot x=-9,$$ корней нет.
Значит, если $$a=\frac74$$ или $$a=4,$$ корней нет; если $$a\ne \frac74$$ и $$a\ne 4,$$ то
$$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$
Для уравнений и неравенств с модулем используем свойства модуля.
Если $$b>0,$$ то:
$$|f(x)|=b \iff \begin{cases} f(x)=b,\\ f(x)=-b; \end{cases}$$
$$|f(x)|<b \iff -b<f(x)<b;$$
$$|f(x)|>b \iff f(x)<-b \ \text{или}\ f(x)>b.$$
Если $$b=0,$$ то:
$$|f(x)|=0 \iff f(x)=0,$$
$$|f(x)|<0 \text{ не имеет решений},$$
$$|f(x)|>0 \iff f(x)\ne 0.$$
Если $$b<0,$$ то:
$$|f(x)|=b \text{ и } |f(x)|<b \text{ не имеют решений},$$
$$|f(x)|>b \text{ верно при любых } x.$$
Если нужно решить уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=g(x),$$ $$|f(x)|<g(x),$$ $$|f(x)|>g(x),$$ сначала учитывают, что правая часть должна быть неотрицательной:
$$g(x)\ge 0.$$
Тогда:
$$|f(x)|=g(x) \iff \begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x); \end{cases}$$
$$|f(x)|<g(x) \iff \begin{cases} g(x)>0,\\ -g(x)<f(x)<g(x); \end{cases}$$
$$|f(x)|>g(x) \iff \begin{cases} f(x)<-g(x),\\ f(x)>g(x). \end{cases}$$
Для выражений вида $$|f(x)|=|g(x)|,$$ $$|f(x)|<|g(x)|,$$ $$|f(x)|>|g(x)|$$ используем равносильные преобразования:
$$|f(x)|=|g(x)| \iff \begin{cases} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x); \end{cases}$$
$$|f(x)|<|g(x)| \iff f^2(x)<g^2(x);$$
$$|f(x)|>|g(x)| \iff f^2(x)>g^2(x).$$
Рассмотрим уравнение $$|x+1|+|x-4|=7.$$ Точки, в которых выражения под модулями меняют знак, это $$x=-1$$ и $$x=4.$$ Разобьём числовую прямую на промежутки.
1) Если $$x\le -1,$$ то
$$|x+1|=-(x+1),\qquad |x-4|=-(x-4).$$
Тогда
$$-x-1-x+4=7,$$
$$-2x+3=7,\qquad x=-2.$$
2) Если $$-1<x\le 4,$$ то
$$|x+1|=x+1,\qquad |x-4|=-(x-4).$$
Получаем
$$x+1-x+4=7,$$
то есть тождество. Значит, подходят все $$x\in(-1,4].$$
3) Если $$x>4,$$ то
$$|x+1|=x+1,\qquad |x-4|=x-4.$$
Тогда
$$x+1+x-4=7,$$
$$2x=10,\qquad x=5.$$
Итак, решения: $$x=-2,$$ все $$x\in(-1,4],$$ и $$x=5.$$
Теперь неравенство $$|x|+|x-2|<3.$$ Точки смены знака: $$x=0$$ и $$x=2.$$
1) Если $$x\le 0,$$ то
$$|x|=-x,\qquad |x-2|=-(x-2).$$
Получаем
$$-x-x+2<3,$$
$$-2x<1,\qquad x>-\frac12.$$
С учётом $$x\le 0$$ имеем $$x\in\left(-\frac12,0\right].$$
2) Если $$0<x\le 2,$$ то
$$|x|=x,\qquad |x-2|=-(x-2),$$
и
$$x-x+2<3,$$
что верно при всех таких $$x.$$ Значит, $$x\in(0,2].$$
3) Если $$x>2,$$ то
$$|x|=x,\qquad |x-2|=x-2.$$
Тогда
$$x+x-2<3,$$
$$2x<5,\qquad x<\frac52.$$
С учётом $$x>2$$ получаем $$x\in\left(2,\frac52\right).$$
Объединяя, получаем ответ:
$$x\in\left(-\frac12,\frac52\right).$$
Ответ
1) Уравнение с параметром содержит неизвестное и параметр; решение — найти корни для каждого допустимого значения параметра.
2) Решить уравнение с параметром — значит установить соответствие между значениями параметра и корнями уравнения.
3) $$ax-5x=a^2-4a+5$$: при $$a\ne 5$$ $$x=\frac{a^2-4a+5}{a-5},$$ при $$a=5$$ корней нет; $$2x^2-4x+a=0$$: при $$a>2$$ корней нет, при $$a=2$$ $$x=1,$$ при $$a<2$$ $$x=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$
4) $$\frac{a}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{7}{x^2-4}$$: при $$a=\frac74$$ и $$a=4$$ корней нет, при $$a\ne \frac74,\ a\ne 4$$ $$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$
5) $$|f(x)|=b,$$ $$|f(x)|<b,$$ $$|f(x)|>b$$ решают по знаку $$b$$; при $$b>0$$: $$|f(x)|=b \iff f(x)=\pm b,$$ $$|f(x)|<b \iff -b<f(x)<b,$$ $$|f(x)|>b \iff f(x)<-b$$ или $$f(x)>b.$$
6) $$|f(x)|=g(x)$$ решают при $$g(x)\ge 0$$; $$|f(x)|<g(x) \iff -g(x)<f(x)<g(x);$$ $$|f(x)|>g(x) \iff f(x)<-g(x)$$ или $$f(x)>g(x).$$
7) $$|f(x)|=|g(x)| \iff f(x)=g(x)$$ или $$f(x)=-g(x);$$ $$|f(x)|<|g(x)| \iff f^2(x)<g^2(x);$$ $$|f(x)|>|g(x)| \iff f^2(x)>g^2(x).$$
8) $$|x+1|+|x-4|=7$$: $$x=-2,$$ все $$x\in(-1,4],$$ и $$x=5.$$
9) $$|x|+|x-2|<3$$: $$x\in\left(-\frac12,\frac52\right).$$
