Контрольные вопросы Параграф 15 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Перечислите свойства арифметического корня и докажите одно из них.
3. Дайте определение степени с рациональным показателем.
4. Сформулируйте свойства степени с рациональным показателем. Докажите свойство a^(r_1) a^(r_2) = a^(r_1+r_2) для случая, когда r_1?N, r_2 — дробное число.

1. Арифметический корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $$b^n=a.$$

2. Свойства арифметического корня:

   • $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}, \quad a\ge 0,\ b\ge 0;$$
   • $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad a\ge 0,\ b>0;$$
   • $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}, \quad a\ge 0,\ m,n\in\mathbb{N}.$$

   Докажем первое свойство:

   Пусть $$x=\sqrt[n]{a}, \quad y=\sqrt[n]{b}.$$ Тогда $$x^n=a,\ y^n=b.$$ Следовательно,
   $$\left(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\right)^n=x^n y^n=ab.$$
   Так как произведение двух неотрицательных чисел неотрицательно, то
   $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}.$$

3. Степень с рациональным показателем определяется так: если $$r=\frac{m}{n},$$ где $$m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{N},$$ то при $$a>0$$

   $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$

4. Свойства степени с рациональным показателем:

   • $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2};$$
   • $$a^{r_1}:a^{r_2}=a^{r_1-r_2}, \quad a\ne 0;$$
   • $$\left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1r_2};$$
   • $$\left(ab\right)^r=a^r b^r, \quad a>0,\ b>0;$$
   • $$\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}, \quad a>0,\ b>0.$$

   Докажем свойство $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$$ для случая, когда $$r_1\in\mathbb{N},$$ а $$r_2$$ — дробное число.

   Пусть $$r_1=m,\quad r_2=\frac{p}{q}, \quad m\in\mathbb{N},\ p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{N}.$$ Тогда
   $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^m\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^m\cdot \sqrt[q]{a^p}.$$
   По определению степени с рациональным показателем:
   $$a^m=\sqrt[q]{a^{mq}},$$
   значит
   $$a^m\cdot \sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q]{a^{mq}}\cdot \sqrt[q]{a^p}=\sqrt[q]{a^{mq+p}}.$$
   С другой стороны,
   $$a^{r_1+r_2}=a^{m+\frac{p}{q}}=a^{\frac{mq+p}{q}}=\sqrt[q]{a^{mq+p}}.$$
   Следовательно,
   $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}.$$

Ответ

Арифметический корень — это неотрицательное число, n-я степень которого равна данному числу. Степень с рациональным показателем определяется формулой $$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$ при $$a>0$$. Основные свойства корней и степеней с рациональным показателем приведены выше.