Контрольные вопросы Параграф 14 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Сформулируйте свойства взаимно обратных функций.
3. Сформулируйте свойства функции g(x)=x^(1/n). если n — нечётное число и если n — чётное число. Покажите, как выглядит график функции g при нечётном n и чётном n?.
Функция с областью определения $$X$$ и областью значений $$Y$$ называется обратимой, если обратное ей соответствие между множеством $$Y$$ и множеством $$X$$ является функцией.
Если функция $$f$$ обратима, то обратное ей соответствие называют обратной функцией $$f$$.
Пример взаимно обратных функций:
$$f(x)=5x+3,\qquad g(x)=\frac{x-3}{5}.$$
Свойства взаимно обратных функций $$f$$ и $$g$$:
- область определения функции $$f$$ является областью значений функции $$g$$, а область значений функции $$f$$ является областью определения функции $$g$$;
- если функция $$f$$ возрастает, то обратная ей функция $$g$$ тоже возрастает; если $$f$$ убывает, то $$g$$ тоже убывает;
- если обратимая функция $$f$$ нечётная, то обратная ей функция $$g$$ также нечётная.
Рассмотрим функцию $$g(x)=\sqrt[n]{x}.$$
Если $$n$$ нечётное:
- $$g(0)=0$$;
- если $$x<0$$, то $$g(x)<0$$;
- если $$x>0$$, то $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция нечётная;
- множество значений: $$E(g)=\mathbb{R}.$$
График проходит через точки $$(-1,-1)$$, $$ (0,0) $$, $$ (1,1) $$ и симметричен относительно начала координат.
Если $$n$$ чётное:
- $$g(0)=0$$;
- если $$x>0$$, то $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- множество значений: $$E(g)=[0;+\infty).$$
График расположен только в правой полуплоскости, проходит через точки $$ (0,0) $$ и $$ (1,1) $$.
Ответ
1) Обратимая функция — это функция, для которой обратное соответствие тоже является функцией. Пример: $$f(x)=5x+3$$ и $$g(x)=\frac{x-3}{5}$$.
2) У взаимно обратных функций области определения и значений меняются местами; возрастание и убывание сохраняются; нечётная функция имеет нечётную обратную.
3) При нечётном $$n$$ функция $$g(x)=\sqrt[n]{x}$$ определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$, возрастает, нечётная, $$E(g)=\mathbb{R}$$. При чётном $$n$$ она определена при $$x\ge 0$$, возрастает, ни чётная ни нечётная, $$E(g)=[0;+\infty)$$.
