Контрольные вопросы Параграф 5 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=b$$, $$|f(x)|
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=g(x)$$, $$|f(x)|
- Объясните, как решают уравнения и неравенства вида $$|f(x)|=|g(x)|$$, $$|f(x)|<|g(x)|$$, $$|f(x)|>|g(x)|$$.
- На примере уравнения $$|x+1|+|x-4|=7$$ и неравенства $$|x|+|x-2|<3$$ объясните, как решают уравнения и неравенства такого вида, освобождаясь от знака модуля на промежутках, в которых выражение, записанное под знаком модуля, сохраняет знак.
- Как связан знак квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ со знаком коэффициента $$a$$ при $$D<0$$; $$D=0$$; $$D>0$$?
- На примере неравенств $$x^2-7x+6>0$$, $$x^2-4x+4>0$$ и $$x^2-2x+8>0$$ объясните, как решают неравенства второй степени с одной переменной.
- Сформулируйте свойство функции, на котором основан метод интервалов. На примере неравенств $$(x+8)(x-6)(x-11)<0$$ и $$(x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6)>0$$ объясните, как решают неравенства методом интервалов.
- Равносильны ли неравенства $$\frac{P(x)}{Q(x)}>0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)>0$$; $$\frac{P(x)}{Q(x)}<0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)<0$$? На примере неравенств $$\frac{3-6x}{x+2}>0$$ и $$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}<1$$ объясните, как решают строгие дробно-рациональные неравенства.
- Равносильны ли неравенства $$P(x)/Q(x)\mathord{?}0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)\mathord{?}0$$; $$P(x)/Q(x)\mathord{?}0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)\mathord{?}0$$? На примере неравенств $$\frac{12-5x}{7x+14}\mathord{?}0$$ и $$\frac{5x+6}{x}\mathord{?}x$$ объясните, как решают нестрогие дробно-рациональные неравенства.
1. Если $$b=0,$$ тогда:
$$|f(x)|=b \iff f(x)=0,$$
$$|f(x)|<b$$ не имеет решений;
$$|f(x)|>b$$ верно при всех $$x,$$ кроме тех, для которых $$f(x)=0.$$
Если $$b<0,$$ тогда:
$$|f(x)|=b$$ не имеет корней;
$$|f(x)|<b$$ не имеет решений;
$$|f(x)|>b$$ верно при любых $$x.$$
Если $$b>0,$$ тогда:
$$|f(x)|=b \iff \begin{cases}f(x)=-b,\\ f(x)=b;\end{cases}$$
$$|f(x)|<b \iff -b<f(x)<b,$$
$$|f(x)|>b \iff \begin{cases}f(x)<-b,\\ f(x)>b.\end{cases}$$
2. Решение уравнения и неравенств:
$$|f(x)|=g(x) \iff \begin{cases}g(x)\ge 0,\\ f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x);\end{cases}$$
$$|f(x)|<g(x) \iff \begin{cases}f(x)<g(x),\\ f(x)>-g(x);\end{cases}$$
$$|f(x)|>g(x) \iff \begin{cases}f(x)<-g(x),\\ f(x)>g(x).\end{cases}$$
3. Решение уравнения и неравенств:
$$|f(x)|=|g(x)| \iff \begin{cases}f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x);\end{cases}$$
$$|f(x)|<|g(x)| \iff f^2(x)<g^2(x);$$
$$|f(x)|>|g(x)| \iff f^2(x)>g^2(x).$$
4. Если выражение под знаком модуля разбить на промежутки, где оно сохраняет знак, то на каждом таком промежутке модуль раскрывают по определению и решают получившееся уравнение или неравенство.
Например, для $$|x+1|+|x-4|=7$$ точки смены знака: $$x=-1$$ и $$x=4.$$ Поэтому рассматривают промежутки $$(-\infty;-1],$$ $$(-1;4],$$ $$(4;+\infty).$$
Для $$|x|+|x-2|<3$$ точки смены знака: $$x=0$$ и $$x=2.$$ На каждом промежутке модули раскрывают и решают неравенство, после чего объединяют полученные ответы.
Ход решения
1. Знак квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ зависит от дискриминанта:
- при $$D<0$$ трёхчлен имеет знак коэффициента $$a$$ при любых $$x$$;
- при $$D=0$$ трёхчлен имеет знак $$a$$ при всех $$x,$$ кроме корня, где он равен нулю;
- при $$D>0$$ трёхчлен имеет знак, противоположный знаку $$a,$$ между корнями и совпадает со знаком $$a$$ вне этого промежутка.
2. Решение неравенств второй степени:
$$x^2-7x+6>0$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=25,$$
$$x_1=1,\quad x_2=6,$$
$$(x-1)(x-6)>0,$$
откуда
$$x<1 \text{ или } x>6.$$
Ответ: $$(-\infty;1)\cup(6;+\infty).$$
$$x^2-4x+4>0$$
$$(x-2)^2>0,$$
значит,
$$x\ne 2.$$
Ответ: $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
$$x^2-2x+8>0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 8=-28<0,$$
поэтому при всех $$x\in \mathbb{R}$$ выражение положительно.
Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$
3. Метод интервалов основан на том, что двучлен $$x-a$$ меняет знак при переходе через точку $$x=a.$$ Поэтому на каждом промежутке, отделённом нулями множителей, знак произведения постоянен.
$$(x+8)(x-6)(x-11)<0$$
Нули множителей: $$x=-8,\ 6,\ 11.$$ Проверяем знаки на промежутках и получаем:
$$x\in(-\infty;-8)\cup(6;11).$$
Ответ: $$(-\infty;-8)\cup(6;11).$$
$$(x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6)>0$$
Квадраты не меняют знак, но обращают выражение в нуль при $$x=-11$$ и $$x=3.$$ Поэтому достаточно решить
$$(x+4)(x-6)>0,$$
откуда
$$x<-4 \text{ или } x>6,$$
и исключить точки $$x=-11$$ и $$x=3.$$ Тогда
Ответ: $$(-\infty;-11)\cup(-11;-4)\cup(6;+\infty).$$
4. Для строгих дробно-рациональных неравенств
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0,$$
$$\frac{P(x)}{Q(x)}<0 \iff P(x)\cdot Q(x)<0,$$
при условии $$Q(x)\ne 0.$$
$$\frac{3-6x}{x+2}>0$$
$$\frac{2x-1}{x+2}<0$$
Отсюда
$$-2<x<0{,}5.$$
Ответ: $$(-2;0{,}5).$$
$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}<1$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}<1,$$
$$\frac{4}{x^2-4}<1,$$
$$\frac{4-(x^2-4)}{x^2-4}<0,$$
$$\frac{8-x^2}{x^2-4}<0.$$
Решая методом интервалов, получаем
Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;-2\sqrt{2})\cup(2;2\sqrt{2})\cup(2;+\infty).$$
5. Для нестрогих дробно-рациональных неравенств
$$\frac{P(x)}{Q(x)}\ge 0 \iff P(x)\cdot Q(x)\ge 0,$$
$$\frac{P(x)}{Q(x)}\le 0 \iff P(x)\cdot Q(x)\le 0,$$
при условии $$Q(x)\ne 0.$$
$$\frac{12-5x}{7x+14}\ge 0$$
$$\frac{12-5x}{7(x+2)}\ge 0.$$
Нули числителя и знаменателя: $$x=\frac{12}{5}$$ и $$x=-2.$$ По методу интервалов:
Ответ: $$(-2;\frac{12}{5}].$$
$$\frac{5x+6}{x}\le x$$
$$\frac{5x+6-x^2}{x}\le 0,$$
$$\frac{-(x^2-5x-6)}{x}\le 0,$$
$$\frac{(x-6)(x+1)}{x}\ge 0.$$
По методу интервалов получаем
Ответ: $$[-1;0)\cup[6;+\infty).$$
Ответ
1) $$|f(x)|=b$$: при $$b>0$$ — два уравнения, при $$b=0$$ — $$f(x)=0,$$ при $$b<0$$ решений нет; для неравенств учитывают соответствующие случаи. 2) $$|f(x)|=g(x)$$ сводят к системе с условием $$g(x)\ge 0$$ и двумя уравнениями $$f(x)=\pm g(x).$$ 3) $$|f(x)|=|g(x)|$$ равносильно двум случаям $$f(x)=g(x)$$ и $$f(x)=-g(x);$$ для неравенств можно возвести в квадрат. 4) Такие уравнения и неравенства решают, разбивая ось на промежутки, где выражения под модулем сохраняют знак. 5) Знак квадратного трёхчлена и дробно-рациональных неравенств находят по дискриминанту и методом интервалов.
