Контрольные вопросы Параграф 13 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Сформулируйте свойства сходящихся последовательностей.
3. Какая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией? Запишите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1. Число $$b$$ называется пределом последовательности $$\left(a_n\right)$$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $$\varepsilon$$ существует натуральное число $$N$$ такое, что для всех членов последовательности с номерами $$n>N$$ выполняется неравенство $$|a_n-b|<\varepsilon$$.

Геометрический смысл предела состоит в том, что если $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=b$$, то начиная с некоторого номера все члены последовательности попадают в любой заранее заданный интервал $$\left(b-\varepsilon;\, b+\varepsilon\right)$$, то есть в $$\varepsilon$$-окрестность точки $$b$$.

2. Свойства сходящихся последовательностей:

1. последовательность может иметь только один предел;
2. если все члены последовательности $$\left(x_n\right)$$ равны $$b$$, то $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$$;
3. если последовательность $$\left(x_n\right)$$ имеет предел, то она ограничена.

3. Бесконечной убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, для которой $$|q|<1$$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Ответ

1) $$b=\lim\limits_{n\to\infty} a_n$$, если для любого $$\varepsilon>0$$ найдётся $$N$$, что при $$n>N$$ выполняется $$|a_n-b|<\varepsilon$$; геометрически это означает, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, лежат в любой $$\varepsilon$$-окрестности точки $$b$$.
2) Предел последовательности единственен; постоянная последовательность имеет предел, равный этому постоянному числу; всякая сходящаяся последовательность ограничена.
3) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия с $$|q|<1$$; $$S=\dfrac{b_1}{1-q}$$.