Контрольные вопросы Параграф 4 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Знак квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ зависит от знака коэффициента $$a$$ и дискриминанта $$D$$:

• при $$D<0$$ трёхчлен имеет знак $$a$$ при всех $$x$$;
• при $$D=0$$ трёхчлен имеет знак $$a$$ при всех $$x$$, кроме корня, где он равен нулю;
• при $$D>0$$ между корнями знак трёхчлена противоположен знаку $$a$$, а вне этого промежутка совпадает со знаком $$a$$.

2. Решим данные неравенства:

1. $$x^2-7x+6>0$$
   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25,$$
   $$x_1=\frac{7-5}{2}=1,\qquad x_2=\frac{7+5}{2}=6.$$
   Тогда
   $$(x-1)(x-6)>0,$$
   откуда
   $$x<1 \text{ или } x>6.$$

   Ответ: $$(-\infty;1)\cup(6;+\infty).$$

2. $$x^2-4x+4>0$$
   $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$
   значит
   $$(x-2)^2>0$$
   при всех $$x\neq 2$$.

   Ответ: $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

3. $$x^2-2x+8>0$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0.$$
   Так как $$a=1>0$$, то выражение положительно при всех $$x$$.

   Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$

3. Метод интервалов основан на том, что при переходе через корень линейного множителя $$x-a$$ знак выражения меняется, а при переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

1. $$(x+8)(x-6)(x-11)<0$$
   Корни: $$-8,\ 6,\ 11$$. На каждом из промежутков знак произведения постоянен, поэтому после проверки знаков получаем:
   $$x\in(-\infty;-8)\cup(6;11).$$

   Ответ: $$(-\infty;-8)\cup(6;11).$$

2. $$(x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6)>0$$
   Множители $$(x+11)^2$$ и $$(x-3)^2$$ не меняют знак, поэтому достаточно рассмотреть
   $$(x+4)(x-6)>0.$$
   Отсюда
   $$x<-4 \text{ или } x>6,$$
   но точки $$x=-11$$ и $$x=3$$ исключаются, так как при них выражение равно нулю.

   Ответ: $$(-\infty;-11)\cup(-11;-4)\cup(6;+\infty).$$

4. Неравенства $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)>0$$, а также $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}<0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)<0$$ не равносильны, но при решении строгих дробно-рациональных неравенств их удобно сводить к исследованию знаков числителя и знаменателя с учётом области определения.

1. $$\frac{3-6x}{x+2}>0$$
   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac12$$. По методу интервалов:
   $$-2<x<\frac12.$$

   Ответ: $$(-2;\tfrac12).$$

2. $$\frac1{x-2}-\frac1{x+2}<1$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}<1,$$
   $$\frac{4}{x^2-4}<1.$$
   Тогда
   $$\frac{4-(x^2-4)}{x^2-4}<0,$$
   $$\frac{8-x^2}{x^2-4}<0.$$
   Исследование знаков даёт
   $$x\in(-\infty;-2)\cup(-\sqrt8;2)\cup(\sqrt8;+\infty),$$
   с учётом области определения $$x\neq \pm2$$.

   Ответ: $$(-\infty;-2)\cup(-2;\sqrt8)\cup(2;+\infty).$$

5. Для нестрогих дробно-рациональных неравенств вида $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}\ge 0$$ и $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}\le 0$$ переход к произведению $$P(x)\cdot Q(x)$$ уже не является равносильным: нужно учитывать, что нули числителя входят в ответ, а нули знаменателя всегда исключаются.

1. $$\frac{12-5x}{7x+14}\ge 0$$
   $$\frac{12-5x}{7(x+2)}\ge 0.$$
   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac{12}{5}$$. По методу интервалов:
   $$x\in(-2;\tfrac{12}{5}].$$

   Ответ: $$(-2;\tfrac{12}{5}].$$

2. $$\frac{5x+6}{x}\ge x$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\frac{5x+6-x^2}{x}\ge 0,$$
   $$\frac{-(x^2-5x-6)}{x}\ge 0,$$
   $$\frac{(x-6)(x+1)}{x}\le 0.$$
   Критические точки: $$x=-1,\ 0,\ 6$$. Тогда
   $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;6].$$

   Ответ: $$(-\infty;-1]\cup(0;6].$$

1. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения.

Степенью целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения вида $$P(x)=0$$, где $$P(x)$$ — многочлен стандартного вида.

Для уравнения $$x^4(1-x^2)=5x^3-x^6$$ получаем:

$$x^4-x^6=5x^3-x^6,$$
$$x^4-5x^3=0.$$
Степень уравнения равна $$4$$.

2. Если многочлен $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$$ с целыми коэффициентами имеет целый корень $$m$$, то $$m$$ делит свободный член $$a_n$$.

Действительно, из равенства $$P(m)=0$$ имеем:

$$a_0m^n+a_1m^{n-1}+\dots+a_{n-1}m+a_n=0,$$
$$a_n=-m(a_0m^{n-1}+a_1m^{n-2}+\dots+a_{n-1}).$$
Правая часть делится на $$m$$, значит, $$a_n$$ делится на $$m$$. Следовательно, $$m$$ — делитель свободного члена.

3. Если число $$a$$ является корнем многочлена $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n$$, где $$a_0\neq 0$$, то многочлен делится на $$x-a$$:

$$P(x)-P(a)=a_0(x^n-a^n)+a_1(x^{n-1}-a^{n-1})+\dots+a_{n-1}(x-a).$$
Каждая разность $$x^k-a^k$$ делится на $$x-a$$, значит,
$$P(x)=(x-a)P_1(x),$$
где $$P_1(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$.

4. Решим уравнения:

1. $$x(x+1)(x+2)(x+3)=5040$$
   Сгруппируем множители:
   $$(x^2+3x)(x^2+3x+2)=5040.$$
   Пусть $$y=x^2+3x$$. Тогда
   $$y(y+2)=5040,$$
   $$y^2+2y-5040=0.$$
   $$D=2^2+4\cdot 5040=20164,$$
   $$y_1=-72,\qquad y_2=70.$$
   При $$y=-72$$:
   $$x^2+3x+72=0,\qquad D=9-288<0,$$
   корней нет.
   
   При $$y=70$$:
   $$x^2+3x-70=0,$$
   $$D=9+280=289,$$
   $$x_1=\frac{-3-17}{2}=-10,\qquad x_2=\frac{-3+17}{2}=7.$$

   Ответ: $$-10;\ 7.$$

2. $$2x^3-2x^2+x-1=0$$
   Группируем:
   $$2x^2(x-1)+(x-1)=0,$$
   $$(2x^2+1)(x-1)=0.$$
   Тогда
   $$x-1=0,$$
   откуда
   $$x=1.$$

   Ответ: $$1.$$

5. Дробно-рациональным называется уравнение, в котором хотя бы одна из частей является дробным выражением.

Основной приём решения:

1. умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей;
2. решить полученное целое уравнение;
3. исключить корни, обращающие в нуль общий знаменатель.