Контрольные вопросы Параграф 3 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения.

Степенью целого уравнения с одной переменной называется степень равносильного ему уравнения вида $$P(x)=0,$$ где $$P(x)$$ — многочлен стандартного вида.

Найдём степень уравнения:

$$x^4(1-x^2)=5x^3-x^6$$

$$x^4-x^6=5x^3-x^6$$

$$x^4-5x^3=0$$

Степень уравнения равна $$4$$.

2. Если уравнение

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0$$

имеет целые коэффициенты и свободный член $$a_n\neq 0,$$ то любой его целый корень является делителем свободного члена.

Доказательство. Пусть $$m$$ — целый корень уравнения. Тогда

$$a_0m^n+a_1m^{n-1}+\dots+a_{n-1}m+a_n=0,$$

откуда

$$a_n=-m\left(a_0m^{n-1}+a_1m^{n-2}+\dots+a_{n-1}\right).$$

Правая часть делится на $$m,$$ значит, $$a_n$$ делится на $$m$$. Следовательно, $$m$$ — делитель свободного члена.

3. Если число $$a$$ является корнем многочлена

$$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n,$$

где $$a_0\neq 0,$$ то этот многочлен можно представить в виде

$$P(x)=(x-a)P_1(x),$$

где $$P_1(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$.

Доказательство. Так как $$a$$ — корень многочлена, то $$P(a)=0.$$ Тогда

$$P(x)=P(x)-P(a)$$

$$=a_0(x^n-a^n)+a_1(x^{n-1}-a^{n-1})+\dots+a_{n-1}(x-a).$$

Каждая разность вида $$x^k-a^k$$ делится на $$x-a,$$ значит,

$$P(x)=(x-a)P_1(x),$$

где $$P_1(x)$$ — многочлен степени $$n-1.$$

4. Рассмотрим уравнения.

1) $$x(x+1)(x+2)(x+3)=5040.$$

Сгруппируем множители:

$$\bigl(x^2+3x\bigr)\bigl(x^2+3x+2\bigr)=5040.$$

Пусть $$y=x^2+3x,$$ тогда

$$y(y+2)=5040,$$

$$y^2+2y-5040=0.$$

$$D=2^2+4\cdot 5040=20164,$$

$$\sqrt{D}=142.$$

Тогда

$$y_1=\frac{-2-142}{2}=-72,\qquad y_2=\frac{-2+142}{2}=70.$$

1) Если $$x^2+3x=-72,$$ то

$$x^2+3x+72=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 72=-279<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$x^2+3x=70,$$ то

$$x^2+3x-70=0,$$

$$D=3^2+4\cdot 70=289,$$

$$x_1=\frac{-3-17}{2}=-10,\qquad x_2=\frac{-3+17}{2}=7.$$

Ответ: $$-10; 7.$$

2) $$2x^3-2x^2+x-1=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2x^2(x-1)+(x-1)=0,$$

$$\bigl(2x^2+1\bigr)(x-1)=0.$$

Отсюда

$$x-1=0,\qquad x=1.$$

Ответ: $$1.$$

5. Дробно-рациональным называется уравнение, если хотя бы одна из его частей является дробным выражением.

Основной приём решения:

1. умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей;
2. решить полученное целое уравнение;
3. исключить корни, обращающие в нуль общий знаменатель.

1. График функции $$y=f(-x)$$ получают из графика $$y=f(x)$$ симметрией относительно оси $$Oy.$$

График функции $$y=-f(-x)$$ получают из графика $$y=f(x)$$ симметрией относительно начала координат.

Например, для функции $$y=x+5$$ график функции $$y=5-x$$ получается отражением относительно оси $$Oy,$$ а график $$y=-x-5$$ — отражением относительно начала координат.

2. График функции $$y=f(kx)$$ при $$k>1$$ получают из графика $$y=f(x)$$ сжатием в $$k$$ раз к оси $$Oy.$$

При $$0<k<1$$ график $$y=f(kx)$$ получают растяжением в $$\frac{1}{k}$$ раз от оси $$Oy.$$

Например, график функции $$y=2x+1$$ получается из графика $$y=x+1$$ сжатием в $$2$$ раза к оси $$Oy,$$ а график $$y=\frac12x+1$$ — растяжением в $$2$$ раза.

3. Чтобы построить график функции $$y=|f(x)|,$$ нужно часть графика, где $$f(x)\ge 0,$$ оставить без изменения, а часть, где $$f(x)<0,$$ отразить относительно оси $$Ox.$$

Чтобы построить график функции $$y=f(|x|),$$ нужно оставить без изменения часть графика при $$x\ge 0,$$ а затем отразить её относительно оси $$Oy$$ для получения левой части графика.

Например, из графика $$y=x^2-1$$ получаем график $$y=|x^2-1|,$$ а из графика $$y=(x-1)^2$$ — график $$y=(|x|-1)^2.$$