Контрольные вопросы Параграф 12 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Сформулируйте и докажите характеристическое свойство геометрической прогрессии.
3. Выведите формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Найдите сумму членов геометрической прогрессии с четвёртого по восьмой включительно, если a_1=576, q=-0,5.
1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число:
$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$
2. Характеристическое свойство геометрической прогрессии:
числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат любого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:
$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.$$
Действительно, если $$\frac{b_n}{b_{n-1}}=q$$ и $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=q,$$ то
$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.$$
И наоборот, если $$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1},$$ то
$$\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_{n+1}}{b_n},$$
значит, отношение соседних членов постоянно, и последовательность является геометрической прогрессией.
3. Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q\ne 1$$:
$$S_n=b_1+b_2+\dots+b_n,$$
$$S_nq=b_2+b_3+\dots+b_n+b_{n+1},$$
$$S_nq-S_n=b_{n+1}-b_1,$$
$$S_n(q-1)=b_1q^n-b_1,$$
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Найдём сумму членов с четвёртого по восьмой включительно:
$$a_1=576,\quad q=-0{,}5.$$
Сначала найдём четвёртый член:
$$a_4=a_1q^3=576\cdot(-0{,}5)^3=-72.$$
Тогда
$$S_{4-8}=a_4\cdot\frac{q^5-1}{q-1}=-72\cdot\frac{(-0{,}5)^5-1}{-0{,}5-1}.$$
$$S_{4-8}=-72\cdot\frac{-\frac{1}{32}-1}{-\frac{3}{2}}=-72\cdot\frac{-\frac{33}{32}}{-\frac{3}{2}}=-49{,}5.$$
Ответ
$$b_n=b_1q^{\,n-1};\quad b_n^2=b_{n-1}b_{n+1};\quad S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1};\quad S_{4-8}=-49{,}5.$$
