Контрольные вопросы Параграф 23 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выведите формулу косинуса разности двух углов.
2. Сделайте вывод формул косинуса суммы и синуса суммы и разности двух углов.
3. Выведите формулы тангенса суммы и разности двух углов.
4. Выведите формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.
5. Выведите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.
6. Выведите формулы суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов и суммы и разности тангенсов двух углов.

1. Пусть точки $$B(x_1;y_1)$$ и $$C(x_2;y_2)$$ лежат на единичной окружности, тогда

$$x_1=\cos a,\quad y_1=\sin a,\quad x_2=\cos \beta,\quad y_2=\sin \beta.$$

Тогда

$$BC^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(\cos \beta-\cos a)^2+(\sin \beta-\sin a)^2.$$

Раскрывая скобки, получаем

$$BC^2=\cos^2\beta+\cos^2 a-2\cos a\cos \beta+\sin^2\beta+\sin^2 a-2\sin a\sin \beta,$$

$$BC^2=(\cos^2\beta+\sin^2\beta)+(\cos^2 a+\sin^2 a)-2(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta),$$

$$BC^2=2-2(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta).$$

С другой стороны, повернём оси координат на угол $$\beta$$. Тогда одна из точек перейдёт в $$\bigl(1;0\bigr)$$, а другая — в $$\bigl(\cos(a-\beta);\sin(a-\beta)\bigr)$$. Поэтому

$$BC^2=(1-\cos(a-\beta))^2+\sin^2(a-\beta)=2-2\cos(a-\beta).$$

Приравнивая выражения для $$BC^2$$, получаем

$$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta.$$

Ответ

$$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta.$$

Ход решения

2. Из формулы косинуса разности сразу получаем:

$$\cos(a+\beta)=\cos\bigl(a-(-\beta)\bigr)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta.$$

Для синуса используем связь $$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$:

$$\sin(a+\beta)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a-\beta\right) =\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos\beta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin\beta,$$

откуда

$$\sin(a+\beta)=\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta.$$

Аналогично

$$\sin(a-\beta)=\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta.$$

3. Используем определение тангенса:

$$\tg(a+\beta)=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos(a+\beta)} =\frac{\sin a\cos\beta+\cos a\sin\beta}{\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta}.$$

Делим числитель и знаменатель на $$\cos a\cos\beta$$:

$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\,\tg \beta}.$$

Аналогично

$$\tg(a-\beta)=\tg\bigl(a+(-\beta)\bigr)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\,\tg \beta}.$$

4. Формулы двойного угла получаем из формул суммы при $$\beta=a$$:

$$\sin 2a=\sin(a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a,$$

$$\cos 2a=\cos(a+a)=\cos^2 a-\sin^2 a,$$

$$\tg 2a=\tg(a+a)=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

5. Из формулы для косинуса двойного угла выражаем половинный угол:

$$\cos 2x=2\cos^2 x-1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},$$

$$\cos 2x=1-2\sin^2 x \quad \Rightarrow \quad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

Полагая $$x=\frac{a}{2}$$, получаем

$$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2},\qquad \sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}.$$

Кроме того,

$$\tg\frac{a}{2}=\frac{\sin\frac{a}{2}}{\cos\frac{a}{2}} =\frac{\sin a}{1+\cos a}.$$

6. Формулы суммы и разности функций:

$$\sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

$$\sin a-\sin \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

$$\cos a+\cos \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

$$\cos a-\cos \beta=-2\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

$$\tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, \qquad \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$