Контрольные вопросы Параграф 22 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите формулы приведения для синуса и косинуса угла $$\frac{\pi}{2}+\alpha$$.
2. Напишите формулы приведения для углов $$\pi-\alpha$$ и $$\pi+\alpha$$. Докажите какую-нибудь из этих формул.
3. Выведите формулы, выражающие связь между синусом и косинусом, между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента.

1. Пусть точка $$B(x;y)$$ соответствует углу $$a$$, а точка $$C(-y;x)$$ — углу $$\dfrac{\pi}{2}+a$$. Тогда

$$\angle BOC=\angle B+\angle C=\angle B+\left(90^\circ-\angle B\right)=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+a\right)=\dfrac{x}{R}=\cos a,$$

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+a\right)=-\dfrac{y}{R}=-\sin a.$$

2. Формулы приведения:

$$\sin(\pi-a)=\sin a,\qquad \sin(\pi+a)=-\sin a,$$

$$\cos(\pi-a)=-\cos a,\qquad \cos(\pi+a)=-\cos a,$$

$$\tg(\pi-a)=-\tg a,\qquad \tg(\pi+a)=\tg a,$$

$$\ctg(\pi-a)=-\ctg a,\qquad \ctg(\pi+a)=\ctg a.$$

Докажем, например, формулу $$\sin(\pi+a)=-\sin a$$.

Пусть точка $$B(x;y)$$ соответствует углу $$a$$, а точка $$C(-x;-y)$$ — углу $$\pi+a$$. Тогда

$$\angle(OB,Ox)=\angle(OC,Ox),\qquad \angle BOC=180^\circ.$$

Отсюда

$$\sin(\pi+a)=\frac{-y}{R}=-\sin a,$$

$$\cos(\pi+a)=\frac{-x}{R}=-\cos a.$$

3. Формулы связи между функциями одного и того же аргумента:

$$x^2+y^2=R^2 \;\Rightarrow\; \frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}=1 \;\Rightarrow\; \sin^2 a+\cos^2 a=1,$$

$$\tg a=\frac{y}{x}=\frac{y/R}{x/R}=\frac{\sin a}{\cos a},$$

$$\tg^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a},\qquad \tg^2 a=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a},$$

$$\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}-1,\qquad 1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a},$$

$$\ctg a=\frac{\cos a}{\sin a},\qquad \ctg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$

$$\ctg^2 a=\frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a},\qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$

Ответ

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+a\right)=\cos a,\quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+a\right)=-\sin a,$$

$$\sin(\pi-a)=\sin a,\ \sin(\pi+a)=-\sin a,\ \cos(\pi-a)=-\cos a,\ \cos(\pi+a)=-\cos a,$$

$$\tg(\pi-a)=-\tg a,\ \tg(\pi+a)=\tg a,\ \ctg(\pi-a)=-\ctg a,\ \ctg(\pi+a)=\ctg a,$$

$$\sin^2 a+\cos^2 a=1,\qquad \tg a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad \ctg a=\frac{\cos a}{\sin a},$$

$$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a},\qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$