Контрольные вопросы Параграф 7 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Что значит решить уравнение с параметром?
3. На примере уравнений ax-5x=a^2-4a+5 и 2x^2-4x+a=0 с параметром a объясните, как решают линейные и квадратные уравнения с параметром.
4. На примере уравнения a/(x-2)-4/(x+2)=7/(x^2-4) объясните, как решают дробно-рациональное уравнение с параметром.
Уравнением с параметром называют уравнение, в котором кроме неизвестного содержится параметр — буква, обозначающая число, значение которого заранее не задано и может меняться.
Примеры: $$x+a=0,$$ $$ax^2+bx=0,$$ $$\frac{k}{x}=0.$$
Решить уравнение с параметром — значит найти все значения неизвестного при каждом допустимом значении параметра.
1) $$ax-5x=a^2-4a+5.$$
Соберём $x$ в левой части:
$$ (a-5)x=a^2-4a+5. $$
Если $$a\ne 5,$$ то
$$ x=\frac{a^2-4a+5}{a-5}. $$
Если $$a=5,$$ получаем $$0\cdot x=10,$$ что невозможно, значит корней нет.
2) $$2x^2-4x+a=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдём дискриминант:
$$ D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot a=16-8a=8(2-a). $$
Тогда
$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16-8a}}{4} =\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}. $$
Корни существуют, если $$D\ge 0,$$ то есть $$a\le 2.$$
Если $$a=2,$$ то $$x=1.$$
Если $$a<2,$$ то
$$ x=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}. $$
Если $$a>2,$$ корней нет.
$$\frac{a}{x-2}-\frac{4}{x+2}=\frac{7}{x^2-4}.$$
ОДЗ: $$x\ne 2,$$ $$x\ne -2.$$
Умножим обе части на $$x^2-4=(x-2)(x+2):$$
$$ a(x+2)-4(x-2)=7. $$
Раскроем скобки:
$$ ax+2a-4x+8=7, $$
$$ (a-4)x= -2a-1. $$
Если $$a\ne 4,$$ то
$$ x=\frac{2a+1}{4-a}. $$
Теперь учтём ОДЗ. Нужно, чтобы найденное значение не было равно $$2$$ или $$-2.$$
1) $$\frac{2a+1}{4-a}=2 \Rightarrow 2a+1=8-2a \Rightarrow 4a=7 \Rightarrow a=\frac74.$$
2) $$\frac{2a+1}{4-a}=-2 \Rightarrow 2a+1=-8+2a,$$ что невозможно.
Кроме того, при $$a=4$$ уравнение не имеет решений.
Значит, при $$a=\frac74$$ и $$a=4$$ корней нет, а при остальных значениях $$a$$
$$ x=\frac{2a+1}{4-a}. $$
Ответ
1) Уравнение с параметром содержит неизвестное и параметр; параметр задаёт семейство уравнений.
2) Решить уравнение с параметром — значит найти все значения неизвестного для каждого допустимого значения параметра.
3) $$ax-5x=a^2-4a+5$$: при $$a\ne 5$$ $$x=\frac{a^2-4a+5}{a-5},$$ при $$a=5$$ корней нет.
$$2x^2-4x+a=0$$: при $$a>2$$ корней нет; при $$a=2$$ $$x=1;$$ при $$a<2$$ $$x=\frac{2\pm\sqrt{4-2a}}{2}.$$
4) При $$a=\frac74$$ и $$a=4$$ корней нет; при остальных $$a$$ $$x=\frac{2a+1}{4-a}.$$
