Контрольные вопросы Параграф 21 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Чётной является функция $$y=\cos x.$$

Нечётными являются функции $$y=\sin x,\quad y=\tg x,\quad y=\ctg x.$$

2. Нули тригонометрических функций:

$$\sin x=0 \iff x=\pi n,$$
$$\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\tg x=0 \iff x=\pi n,$$
$$\ctg x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$

3. Промежутки знакопостоянства:

$$\sin x>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),$$
$$\sin x<0 \text{ при } x\in(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n);$$
$$\cos x>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),$$
$$\cos x<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right);$$
$$\tg x>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right)\cup\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$
то есть на каждом промежутке между соседними асимптотами знак чередуется;
$$\ctg x>0 \text{ при } x\in(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n),$$
$$\ctg x<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right),$$
где $$n\in\mathbb Z.$$

4. Промежутки монотонности:

$$\sin x \text{ возрастает при } x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$
$$\sin x \text{ убывает при } x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
$$\cos x \text{ возрастает при } x\in[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],$$
$$\cos x \text{ убывает при } x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n];$$
$$\tg x \text{ возрастает при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
$$\ctg x \text{ убывает при } x\in(\pi n;\,\pi+\pi n),$$
где $$n\in\mathbb Z.$$

5. Число $$T\ne 0$$ называется периодом функции $$f$$, если для любого $$x\in D(f)$$ числа $$x+T$$ и $$x-T$$ также принадлежат области определения и выполняется равенство

$$f(x+T)=f(x-T)=f(x).$$

Основные периоды тригонометрических функций:

$$y=\sin x,\quad T=2\pi;$$
$$y=\cos x,\quad T=2\pi;$$
$$y=\tg x,\quad T=\pi;$$
$$y=\ctg x,\quad T=\pi.$$

6. Основные свойства функции $$y=\sin x$$:

• область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty);$$
• нули функции: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• $$\sin x>0$$ при $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),$$ а $$\sin x<0$$ при $$x\in(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n);$$
• функция нечётная;
• возрастает при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$ убывает при $$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
• периодическая, основной период $$T=2\pi;$$
• область значений: $$E(y)=[-1;1];$$
• наибольшее значение $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
• наименьшее значение $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
• функция необратима.

7. Основные свойства функции $$y=\tg x$$:

• область определения: $$D(y)\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• нули функции: $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$
• $$\tg x>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right),$$ а $$\tg x<0$$ при $$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
• функция нечётная;
• возрастает при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
• периодическая, основной период $$T=\pi;$$
• область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty);$$
• наибольшего и наименьшего значений не имеет;
• функция необратима.