Контрольные вопросы Параграф 6 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Объясните, как решают уравнения и неравенства вида |f(x)|=g(x), |f(x)| < g(x), |f(x)| > g(x).
3. Объясните, как решают уравнения и неравенства вида |f(x)|=|g(x)|, |f(x)| < |g(x)|, |f(x)| > |g(x)|.
4. На примере уравнения |x+1|+|x-4|=7 и неравенства |x|+|x-2| < 3 объясните, как решают уравнения и неравенства такого вида, освобождаясь от знака модуля на промежутках, в которых выражение, записанное под знаком модуля, сохраняет знак.

1. Для уравнений и неравенств с модулем вида $$|f(x)|=b,$$ $$|f(x)|b$$ рассматривают знак числа $$b$$.

   Если $$b=0,$$ то

   $$|f(x)|=0 \iff f(x)=0,$$

   $$|f(x)|<0$$ не имеет решений,

   $$|f(x)|>0$$ верно при всех $$x,$$ кроме тех, при которых $$f(x)=0.$$

   Если $$b<0,$$ то

   $$|f(x)|=b$$ и $$|f(x)|

   $$|f(x)|>b$$ верно при любых $$x.$$

   Если $$b>0,$$ то

   $$|f(x)|=b \iff \begin{cases} f(x)=-b, \\ f(x)=b, \end{cases}$$

   $$|f(x)|

   $$|f(x)|>b \iff \begin{cases} f(x)<-b, \\ f(x)>b. \end{cases}$$

2. Для уравнений и неравенств вида $$|f(x)|=g(x),$$ $$|f(x)|g(x)$$ сначала учитывают, что правая часть должна быть неотрицательной:

   $$g(x)\ge 0.$$

   Тогда

   $$|f(x)|=g(x) \iff \begin{cases} g(x)\ge 0, \\ f(x)=g(x), \\ f(x)=-g(x), \end{cases}$$

   $$|f(x)|0, \\ -g(x)

   $$|f(x)|>g(x) \iff \begin{cases} f(x)<-g(x), \\ f(x)>g(x). \end{cases}$$

3. Для уравнений и неравенств вида $$|f(x)|=|g(x)|,$$ $$|f(x)|<|g(x)|,$$ $$|f(x)|>|g(x)|$$ используют равносильные преобразования:

   $$|f(x)|=|g(x)| \iff \begin{cases} f(x)=g(x), \\ f(x)=-g(x), \end{cases}$$

   $$|f(x)|<|g(x)| \iff f^2(x)

   $$|f(x)|>|g(x)| \iff f^2(x)>g^2(x).$$

4. Уравнение $$|x+1|+|x-4|=7$$ решают по промежуткам, где выражения под модулями сохраняют знак.

   Если $$x\le -1,$$ то

   $$-x-1+4-x=7,$$

   $$2x=-4,$$

   $$x=-2.$$

   Если $$-1<x\le 4,$$ то

   $$x+1+4-x=7,$$

   что верно при любом таком $$x.$$

   Если $$x>4,$$ то

   $$x+1+x-4=7,$$

   $$2x=10,$$

   $$x=5.$$

   Значит, $$x=-2$$ и $$x=5.$$

   Неравенство $$|x|+|x-2|<3$$ решают аналогично.

   Если $$x\le 0,$$ то

   $$-x+2-x<3,$$

   $$2x>-1,$$

   $$x>-\frac12.$$

   С учётом условия получаем $$-\frac12<x\le 0.$$

   Если $$0<x\le 2,$$ то

   $$x+2-x<3,$$

   что верно при любом таком $$x.$$

   Если $$x>2,$$ то

   $$x+x-2<3,$$

   $$2x<5,$$

   $$x<\frac52.$$

   С учётом условия получаем $$2<x<\frac52.$$

   Объединяя, имеем $$-\frac12<x<\frac52.$$

Ответ

1) $$|f(x)|=b$$, $$|f(x)|b$$ решают по знаку числа $$b$$: при $$b>0$$ переходят к двум случаям, при $$b=0$$ и $$b<0$$ учитывают невозможность или тривиальность неравенства.

2) Для $$|f(x)|=g(x),$$ $$|f(x)|g(x)$$ обязательно учитывают условие $$g(x)\ge 0$$ и сводят к неравенствам без модуля.

3) Для $$|f(x)|=|g(x)|,$$ $$|f(x)|<|g(x)|,$$ $$|f(x)|>|g(x)|$$ используют равносильные преобразования: $$f(x)=\pm g(x)$$ или сравнение квадратов.

4) $$|x+1|+|x-4|=7 \Rightarrow x=-2,\ 5;$$ $$|x|+|x-2|<3 \Rightarrow -\frac12<x<\frac52.$$