Контрольные вопросы Параграф 2 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Сформулируйте определения возрастающей и убывающей функций на множестве $$X$$. Какая функция называется монотонной на множестве $$X$$? Приведите примеры возрастающей функции; убывающей функции.
- Какая функция называется чётной; нечётной? В чём состоит особенность графика чётной функции; нечётной функции? Приведите примеры чётной функции; нечётной функции.
- Какая функция называется ограниченной, неограниченной? Приведите примеры ограниченной функции; функции, ограниченной сверху; функции, ограниченной снизу.
- Найдите область значений функции $$y=\frac{1}{x^2+1}$$.
- Какую функцию называют квадратичной функцией?
- Сформулируйте свойства функции $$y=ax^2$$ для случаев $$a>0$$ и $$a<0$$.
- Изобразите схематически график функции $$y=ax^2+bx+c$$ для случая, когда $$a>0$$ и $$D>0$$, и перечислите свойства этой функции.
- В чём различие и сходство в свойствах функций $$y=x^2-4x+1$$ и $$y=-x^2+4x-1$$?
1. Функция называется возрастающей на множестве $$X$$, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на множестве $$X$$, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функция, которая возрастает или убывает на всём множестве $$X$$, называется монотонной на множестве $$X$$.
Примеры: $$y=\sqrt{x},\ y=x^3,\ y=x+3$$ — возрастающие функции; $$y=5-x,\ y=\frac{1}{x},\ y=\sqrt{2-x}$$ — убывающие функции.
2. Функция называется чётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение аргумента $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=f(x)$$.
Функция называется нечётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение аргумента $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры: $$y=x^2,\ y=x^4+5$$ — чётные функции; $$y=\frac{1}{x},\ y=x^3+x$$ — нечётные функции.
3. Функция называется ограниченной, если существуют числа $$a$$ и $$b$$ такие, что для любого значения аргумента $$x$$ выполняется неравенство $$a \le f(x) \le b$$. Если такого двойного ограничения нет, функция называется неограниченной.
Примеры: $$y=\frac{5}{x^2+1}$$ — ограниченная функция; $$y=5+2x-x^2$$ — ограничена сверху; $$y=\sqrt{x}+5$$ — ограничена снизу.
4. Найдём область значений функции $$y=\frac{1}{x^2+1}$$.
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2+1 \ge 1$$, значит
$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$
Следовательно, область значений:
$$E(y)=(0;1].$$
1. Квадратичной называется функция, которую можно задать формулой $$y=ax^2+bx+c$$, где $$a\ne 0$$.
2. Свойства функции $$y=ax^2$$:
- если $$a>0$$, то функция чётная, принимает только неотрицательные значения, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, наименьшее значение равно $$0$$ при $$x=0$$;
- если $$a<0$$, то функция чётная, принимает только неположительные значения, возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$, наибольшее значение равно $$0$$ при $$x=0$$.
3. Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ при $$a>0$$ и $$D>0$$ график — парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.
Свойства функции:
- область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$;
- нули функции: $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$;
- функция убывает на $$\left(-\infty;-\frac{b}{2a}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{b}{2a};+\infty\right)$$;
- минимум достигается при $$x=-\frac{b}{2a}$$ и равен $$\frac{4ac-b^2}{4a}$$;
- область значений: $$E(y)=\left[\frac{4ac-b^2}{4a};+\infty\right)$$.
4. Для функций $$f(x)=x^2-4x+1$$ и $$g(x)=-x^2+4x-1$$ имеем:
$$g(x)=-f(x).$$
Значит, графики этих функций симметричны относительно оси $$Ox$$.
Общие свойства: область определения, абсцисса вершины и нули функции. Различаются область значений, ордината вершины, промежутки монотонности и знакопостоянства.
