Контрольные вопросы Параграф 5 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. На примере неравенств x^2-7x+6 > 0, x^2-4x+4 > 0 и x^2-2x+8 > 0 объясните, как решают неравенства второй степени с одной переменной.
3. Сформулируйте свойство функции, на котором основан метод интервалов. На примере неравенств (x+8)(x-6)(x-11) < 0 и (x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6) > 0 объясните, как решают неравенства методом интервалов.
4. Равносильны ли неравенства P(x)/Q(x) > 0 и P(x)·Q(x) > 0; P(x)/Q(x) < 0 и P(x)·Q(x) < 0? На примере неравенств (3-6x)/(x+2) > 0 и 1/(x-2)-1/(x+2) < 1 объясните, как решают строгие дробно-рациональные неравенства. 5. Равносильны ли неравенства P(x)/Q(x)/?0 и P(x)·Q(x)?0; P(x)/Q(x)?0 и P(x)·Q(x)?0? На примере неравенств (12-5x)/(7x+14)?0 и (5x+6)/x?x объясните, как решают нестрогие дробно-рациональные неравенства.

1. Знак квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$ зависит от дискриминанта:

   при $$D<0$$ трёхчлен имеет знак коэффициента $$a$$ при всех $$x$$;

   при $$D=0$$ трёхчлен имеет знак $$a$$ при всех $$x$$, кроме корня, где он равен нулю;

   при $$D>0$$ трёхчлен имеет знак, противоположный знаку $$a$$, между корнями и совпадает со знаком $$a$$ вне этого промежутка.

2. 1) $$x^2-7x+6>0$$

   $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25,$$
   $$x_1=\frac{7-5}{2}=1,\quad x_2=\frac{7+5}{2}=6.$$

   $$x^2-7x+6=(x-1)(x-6),$$
   поэтому
   $$x<1 \text{ или } x>6.$$

   2) $$x^2-4x+4>0$$

   $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$
   значит
   $$x\neq 2.$$

   3) $$x^2-2x+8>0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 8=4-32=-28<0,$$
   а значит, при всех $$x$$ выражение положительно.

3. Метод интервалов основан на том, что при переходе через корень линейного множителя знак этого множителя меняется, а при переходе через корень чётной кратности знак не меняется.

   1) $$(x+8)(x-6)(x-11)<0$$

   Нули: $$x=-8,\;6,\;11.$$

   Проверяем знаки на промежутках и получаем:

   $$x\in(-\infty;-8)\cup(6;11).$$

   2) $$(x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6)>0$$

   Множители $$(x+11)^2$$ и $$(x-3)^2$$ не меняют знак, поэтому достаточно рассмотреть

   $$(x+4)(x-6)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-4 \text{ или } x>6,$$

   но точки $$x=-11$$ и $$x=3$$ исключаются, так как там выражение равно нулю.

   $$x\in(-\infty;-11)\cup(-11;-4)\cup(6;+\infty).$$

4. Неравенства $$\frac{P(x)}{Q(x)}>0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)>0$$, а также $$\frac{P(x)}{Q(x)}<0$$ и $$P(x)\cdot Q(x)<0$$ не равносильны в общем случае, но при решении дробно-рациональных неравенств их удобно сводить к исследованию знаков числителя и знаменателя с учётом области определения.

   1) $$\frac{3-6x}{x+2}>0$$

   Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac12.$$

   По методу интервалов:

   $$x\in(-2;\tfrac12).$$

   2) $$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}<1$$

   ОДЗ: $$x\neq 2,\;x\neq -2.$$ Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}-1<0,$$
   $$\frac{(x+2)-(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)(x+2)}<0,$$
   $$\frac{-x^2+8}{x^2-4}<0.$$

   Решая методом интервалов, получаем:

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;2)\cup(2;+\infty).$$

5. Для нестрогих дробно-рациональных неравенств нужно учитывать, что нули числителя входят в ответ, а нули знаменателя — не входят.

   1) $$\frac{12-5x}{7x+14}\ge 0$$

   ОДЗ: $$x\neq -2.$$

   $$\frac{12-5x}{7(x+2)}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-2,\;x=\frac{12}{5}.$$

   По методу интервалов:

   $$x\in(-2;\tfrac{12}{5}].$$

   2) $$\frac{5x+6}{x}\le x$$

   ОДЗ: $$x\neq 0.$$ Перенесём всё в одну дробь:

   $$\frac{5x+6}{x}-x\le 0,$$
   $$\frac{5x+6-x^2}{x}\le 0,$$
   $$\frac{-(x^2-5x-6)}{x}\le 0,$$
   $$\frac{(x-6)(x+1)}{x}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;6.$$ Тогда

   $$x\in[-1;0)\cup[6;+\infty).$$

Ответ

1) При $$D<0$$ знак трёхчлена совпадает со знаком $$a$$; при $$D=0$$ — совпадает со знаком $$a$$, кроме корня; при $$D>0$$ — между корнями знак противоположен знаку $$a$$, вне этого промежутка совпадает с ним.

2) $$x^2-7x+6>0:\;(-\infty;1)\cup(6;+\infty);$$
$$x^2-4x+4>0:\;(-\infty;2)\cup(2;+\infty);$$
$$x^2-2x+8>0:\;(-\infty;+\infty).$$

3) Метод интервалов основан на смене знака линейного множителя при переходе через его корень и на неизменности знака множителя чётной кратности.

$$(x+8)(x-6)(x-11)<0:\;(-\infty;-8)\cup(6;11);$$
$$(x+11)^2(x-3)^2(x+4)(x-6)>0:\;(-\infty;-11)\cup(-11;-4)\cup(6;+\infty).$$

4) $$\frac{3-6x}{x+2}>0:\;(-2;\tfrac12);$$
$$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}<1:\;(-\infty;-2)\cup(-2;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;2)\cup(2;+\infty).$$

5) $$\frac{12-5x}{7x+14}\ge 0:\;(-2;\tfrac{12}{5}];$$
$$\frac{5x+6}{x}\le x:\;[-1;0)\cup[6;+\infty).$$