Контрольные вопросы Параграф 19 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Формулу косинуса разности можно получить, рассматривая расстояние между точками единичной окружности с координатами $$B(\cos a;\sin a)$$ и $$C(\cos \beta;\sin \beta)$$.

   С одной стороны, по формуле расстояния:

   $$BC^2=(\cos \beta-\cos a)^2+(\sin \beta-\sin a)^2.$$

   Раскрывая скобки и используя $$\cos^2 t+\sin^2 t=1$$, получаем:

   $$BC^2=2-2(\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta).$$

   С другой стороны, если повернуть оси на угол $$\beta$$, то расстояние между соответствующими точками выражается так:

   $$BC^2=2-2\cos(a-\beta).$$

   Приравнивая выражения, получаем:

   $$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta.$$

2. Из формулы косинуса разности сразу получаем формулу косинуса суммы, если заменить $$\beta$$ на $$-\beta$$:

   $$\cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta.$$

   Для синуса суммы и разности используем связь $$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$:

   $$\sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta,$$

   $$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta.$$

3. Формулы тангенса суммы и разности получаем делением формул для синуса на формулы для косинуса:

   $$\tg(a+\beta)=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos(a+\beta)} =\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\,\tg \beta},$$

   $$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\,\tg \beta}.$$

4. Формулы двойного угла получаются из формул суммы при $$\beta=a$$:

   $$\sin 2a=\sin(a+a)=2\sin a\cos a,$$

   $$\cos 2a=\cos(a+a)=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a,$$

   $$\tg 2a=\tg(a+a)=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

5. Формулы половинного угла следуют из формулы косинуса двойного угла:

   $$\cos 2x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x.$$

   Полагая $$x=\frac{a}{2}$$, получаем:

   $$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}, \qquad \sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}.$$

   Также:

   $$\tg\frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a} =\frac{1-\cos a}{\sin a}.$$

6. Формулы суммы и разности синусов и косинусов удобно получить, складывая и вычитая формулы для суммы углов:

   $$\sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\sin a-\sin \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\cos a+\cos \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\cos a-\cos \beta=-2\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2}.$$

   Для тангенсов:

   $$\tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, \qquad \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$

Ответ

1. $$\cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta.$$

2. $$\cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta,$$

   $$\sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta,$$

   $$\sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta.$$

3. $$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\,\tg \beta},$$

   $$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\,\tg \beta}.$$

4. $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$

   $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a,$$

   $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

5. $$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}, \qquad \sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2},$$

   $$\tg\frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{1-\cos a}{\sin a}.$$

6. $$\sin a+\sin \beta=2\sin\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\sin a-\sin \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\cos a+\cos \beta=2\cos\frac{a+\beta}{2}\cos\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\cos a-\cos \beta=-2\sin\frac{a+\beta}{2}\sin\frac{a-\beta}{2},$$

   $$\tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, \qquad \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}.$$

Ход решения

1. Частотой случайного события называют отношение числа его появлений к общему числу испытаний:

   $$\nu(A)=\frac{m}{n},$$

   где $$n$$ — число испытаний, $$m$$ — число появлений события $$A$$.

   Вероятностью события $$A$$ называют число, характеризующее возможность его наступления.

   Статистическая вероятность находится по результатам опытов, а классическая — по числу равновозможных элементарных исходов:

   $$P(A)=\frac{N(A)}{N}.$$

2. Вероятности несовместных событий складывают, если нужно найти вероятность их объединения:

   $$P(A+B)=P(A)+P(B).$$

   Например, при бросании кубика:

   $$P(3\text{ или }6)=\frac16+\frac16=\frac13.$$

   Вероятности событий перемножают, если нужно найти вероятность их совместного появления:

   $$P(AB)=P(A)\cdot P(B).$$

   Например, вероятность выпадения двух орлов при бросании двух монет:

   $$P=\frac12\cdot\frac12=\frac14.$$

Ответ

1. Частота случайного события — это отношение числа его появлений к числу испытаний. Вероятность — числовая мера возможности наступления события. Статистическая вероятность определяется по опытам, классическая — по числу равновозможных исходов.

2. Вероятности складывают для несовместных событий при нахождении вероятности их объединения, а перемножают для совместного появления событий.