Контрольные вопросы Параграф 4 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Сформулируйте и докажите теорему о целом корне уравнения P(x)=0, где P(x) — многочлен, в котором все коэффициенты — целые числа, причём свободный член не равен нулю.
3. Сформулируйте и докажите теорему о представлении многочлена P(x)=a_0x^n+a_1x^(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n, где a_0?0, в виде произведения (x-a)P_1(x), где P_1(x) — многочлен (n-1)-й степени.
4. Разъясните на примерах уравнений x(x+1)(x+2)(x+3)=5040 и 2x^3-2x^2+x-1=0, как решают целое уравнение с помощью разложения на множители и введения новой переменной.
5. Какое уравнение называется дробно-рациональным? В чём состоит основной приём решения дробно-рациональных уравнений?
Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого — целые выражения.
Степенью уравнения $$P(x)=0$$, где $$P(x)$$ — многочлен стандартного вида, называется степень этого многочлена.
Степенью произвольного целого уравнения называется степень равносильного ему уравнения вида $$P(x)=0$$.
Для уравнения $$x^4(1-x^2)=5x^3-x^6$$ получаем:
$$ x^4-x^6=5x^3-x^6 $$
$$ x^4-5x^3=0 $$Степень уравнения равна $$4$$.
Если уравнение
$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0$$
имеет целый корень, а все коэффициенты — целые числа и $$a_n\ne 0$$, то этот корень является делителем свободного члена.
Доказательство:
пусть $$m$$ — целый корень уравнения. Тогда
$$ a_0m^n+a_1m^{n-1}+\dots+a_{n-1}m+a_n=0 $$
$$ a_n=-a_0m^n-a_1m^{n-1}-\dots-a_{n-1}m $$
$$ a_n=-m\left(a_0m^{n-1}+a_1m^{n-2}+\dots+a_{n-1}\right) $$Следовательно, $$a_n$$ делится на $$m$$, то есть $$m$$ является делителем свободного члена. Что и требовалось доказать.
Если число $$a$$ является корнем многочлена
$$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\ne 0,$$
то этот многочлен можно представить в виде произведения $$\left(x-a\right)P_1(x)$$, где $$P_1(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$.
Доказательство:
$$ P(x)-P(a)=a_0(x^n-a^n)+a_1(x^{n-1}-a^{n-1})+\dots+a_{n-1}(x-a) $$
Каждое слагаемое делится на $$x-a$$, значит и весь многочлен делится на $$x-a$$:
$$P(x)=(x-a)P_1(x).$$
Что и требовалось доказать.
1) Решим уравнение $$x(x+1)(x+2)(x+3)=5040$$.
$$ (x^2+3x)(x^2+3x+2)=5040 $$
Пусть $$y=x^2+3x$$, тогда
$$ y(y+2)=5040 $$
$$ y^2+2y-5040=0 $$$$ D=2^2+4\cdot 5040=20164 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-2\pm 142}{2} $$Получаем $$y_1=-72$$ и $$y_2=70$$.
Если $$y=-72$$, то
$$ x^2+3x+72=0 $$
$$ D=3^2-4\cdot 72=-279<0 $$
Решений нет.
Если $$y=70$$, то
$$ x^2+3x-70=0 $$
$$ D=3^2+4\cdot 70=289 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-3\pm 17}{2} $$Отсюда $$x=-10$$ или $$x=7$$.
2) Решим уравнение $$2x^3-2x^2+x-1=0$$.
$$ 2x^2(x-1)+(x-1)=0 $$
$$ (2x^2+1)(x-1)=0 $$Так как $$2x^2+1\ne 0$$ при любых действительных $$x$$, то
$$x-1=0,\quad x=1.$$
Дробно-рациональным называется уравнение, если обе его части или хотя бы одна из них являются дробными выражениями.
Основной приём решения:
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей;
- решить полученное целое уравнение;
- исключить корни, обращающие в нуль общий знаменатель.
Ответ
1) $$4$$; 2) целый корень является делителем свободного члена; 3) $$P(x)=(x-a)P_1(x)$$; 4) $$x=-10,\,7$$; $$x=1$$; 5) уравнение с дробными выражениями, решают умножением на общий знаменатель с последующей проверкой ОДЗ.
