Контрольные вопросы Параграф 18 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Задание учебника 2026 года
- Докажите формулы приведения для синуса и косинуса угла $$\frac{\pi}{2}+\alpha$$.
- Напишите формулы приведения для углов $$\pi-\alpha$$ и $$\pi+\alpha$$. Докажите какую-нибудь из этих формул.
- Выведите формулы, выражающие связь между синусом и косинусом, между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента.
Задание учебника 2023 года
- Что называется перестановкой из $$n$$ элементов? Выведите формулу числа перестановок из $$n$$ элементов.
- Дайте определение размещения из $$n$$ элементов по $$k$$ и выведите формулу для вычисления числа размещений, составленных из $$n$$ элементов по $$k$$.
- Дайте определение сочетания из $$n$$ элементов по $$k$$ и выведите формулу для вычисления числа сочетаний, составленных из $$n$$ элементов по $$k$$.
1. Пусть даны точки $$B(x;y)$$ и $$C(-y;x)$$. Тогда
$$\angle BOC=\angle B+\angle C=\angle B+\left(90^\circ-\angle B\right)=90^\circ.$$
Следовательно, для угла $$a$$ получаем:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=\frac{x}{R}=\cos a,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\frac{y}{R}=-\sin a.$$
2. Формулы приведения:
$$\sin(\pi-a)=\sin a,\qquad \sin(\pi+a)=-\sin a,$$
$$\cos(\pi-a)=-\cos a,\qquad \cos(\pi+a)=-\cos a,$$
$$\tg(\pi-a)=-\tg a,\qquad \tg(\pi+a)=\tg a,$$
$$\ctg(\pi-a)=-\ctg a,\qquad \ctg(\pi+a)=\ctg a.$$
Докажем, например, формулу $$\sin(\pi+a)=-\sin a$$.
Пусть даны точки $$B(x;y)$$ и $$C(-x;-y)$$. Тогда
$$\angle(OB\cap Ox)=\angle(OC\cap Ox),\qquad \angle BOC=180^\circ.$$
Поэтому
$$\sin(\pi+a)=-\frac{y}{R}=-\sin a,$$
$$\cos(\pi+a)=-\frac{x}{R}=-\cos a.$$
3. Формулы связи между функциями:
$$x^2+y^2=R^2,\qquad \frac{y^2}{R^2}+\frac{x^2}{R^2}=1,\qquad \sin^2 a+\cos^2 a=1.$$
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad \tg^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a},\qquad \tg^2 a=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a},$$
$$\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}-1,\qquad 1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}.$$
Аналогично:
$$\ctg a=\frac{\cos a}{\sin a},\qquad \ctg^2 a=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a},\qquad \ctg^2 a=\frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a},$$
$$\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}-1,\qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$
1. Перестановкой из $$n$$ элементов называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.
Число перестановок из $$n$$ элементов:
$$P_n=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1=n!.$$
2. Размещением из $$n$$ элементов по $$k$$, где $$k\le n$$, называют упорядоченное множество, содержащее $$k$$ элементов.
Число размещений из $$n$$ элементов по $$k$$:
$$A_n^k=n(n-1)\cdots \bigl(n-(k-1)\bigr)=\frac{n!}{(n-k)!}.$$
3. Сочетаниями из $$n$$ элементов по $$k$$ называют подмножества, составленные из $$n$$ элементов и содержащие $$k$$ элементов в каждом подмножестве.
Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками:
$$A_n^k=C_n^k\cdot P_k,$$
откуда
$$C_n^k=\frac{A_n^k}{P_k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
