Контрольные вопросы Параграф 17 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Укажите, какие из тригонометрических функций являются чётными, а какие — нечётными?
- Запишите формулы для вычисления нулей каждой из тригонометрических функций.
- В каких промежутках тригонометрические функции принимают положительные значения, а в каких — отрицательные?
- В каких промежутках тригонометрические функции возрастают, а в каких — убывают?
- Что называется периодом функции? Назовите основной период каждой тригонометрической функции.
- Сформулируйте основные свойства функции $$y=\sin(x)$$.
- Сформулируйте основные свойства функции $$y=\tg(x)$$.
- Объясните, какие предложения называют высказываниями; предикатами. Приведите примеры.
- Дайте определение отрицания высказывания. Приведите пример высказывания и его отрицания.
- Дайте определения дизъюнкции, конъюнкции, импликации двух высказываний. Приведите примеры.
Чётные и нечётные тригонометрические функции:
Нечётные функции: $$y=\sin x,\quad y=\tg x,\quad y=\ctg x.$$
Чётная функция: $$y=\cos x.$$
Нули тригонометрических функций:
$$\sin x=0 \iff x=\pi n,$$
$$\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\tg x=0 \iff x=\pi n,$$
$$\ctg x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$Промежутки знакопостоянства:
$$\sin x>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),$$
$$\sin x<0 \text{ при } x\in(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n);$$$$\cos x>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),$$
$$\cos x<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right);$$$$\tg x>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right),$$
$$\tg x<0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$$$\ctg x>0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$
$$\ctg x<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right).$$Промежутки монотонности:
$$\sin x \text{ возрастает при } x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$
$$\sin x \text{ убывает при } x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$$$\cos x \text{ возрастает при } x\in[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n],$$
$$\cos x \text{ убывает при } x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n];$$$$\tg x \text{ возрастает при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
$$\ctg x \text{ убывает при } x\in(\pi n;\,\pi+\pi n).$$
Период функции:
Число $$T\ne 0$$ называется периодом функции $$f$$, если для любого $$x\in D(f)$$ числа $$x+T$$ и $$x-T$$ принадлежат области определения и выполняется равенство $$f(x+T)=f(x-T)=f(x).$$
Основной период:
$$y=\sin x,\quad T=2\pi;$$
$$y=\cos x,\quad T=2\pi;$$
$$y=\tg x,\quad T=\pi;$$
$$y=\ctg x,\quad T=\pi.$$Основные свойства функции $$y=\sin x$$:
1) $$D(y)=(-\infty;+\infty);$$
2) $$y=0$$ при $$x=\pi n;$$
3) $$y>0$$ при $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n);$$
4) $$y<0$$ при $$x\in(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n);$$
5) функция нечётная;
6) возрастает при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$ убывает при $$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
7) периодическая, $$T=2\pi;$$
8) $$E(y)=[-1;1];$$
9) $$y_{\max}=1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$y_{\min}=-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
10) функция необратима.Основные свойства функции $$y=\tg x$$:
1) $$D(y)\ne \frac{\pi}{2}+\pi n;$$
2) $$y=0$$ при $$x=\pi n;$$
3) $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\pi n\right);$$
4) возрастает при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
5) функция нечётная;
6) периодическая, $$T=\pi;$$
7) $$E(y)=(-\infty;+\infty);$$
8) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
9) функция необратима.
Ответ
Чётная функция: $$\cos x.$$
Нечётные функции: $$\sin x,\ \tg x,\ \ctg x.$$
Нули: $$\sin x=0 \iff x=\pi n,$$ $$\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$ $$\tg x=0 \iff x=\pi n,$$ $$\ctg x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Основные периоды: $$2\pi,\ 2\pi,\ \pi,\ \pi.$$
