Контрольные вопросы Параграф 16 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Как узнать, углом какой четверти является угол поворота? Приведите пример. Какие углы не относятся ни к какой четверти?
- Сформулируйте определение радиана. Как выразить в радианах угол поворота, представленный в градусах? Приведите пример. Как выразить в градусах угол поворота, представленный в радианах? Приведите пример.
- Сформулируйте определение синуса и косинуса угла поворота.
- Сформулируйте определение тангенса и котангенса угла поворота.
- Назовите область определения и область значений каждой тригонометрической функции.
- Какое уравнение называют иррациональным? Объясните, как решают уравнение вида $$(f(x))^{1/n}=g(x)$$ при чётном $$n$$ и при нечётном $$n$$.
- Какое неравенство называют иррациональным? Как решают неравенства вида $$(f(x))^{1/n}
Чтобы определить, углом какой четверти является угол поворота $$a$$, его приводят к виду
$$a=a_0+360^\circ n,$$
где $$0^\circ \le a_0 < 360^\circ$$, $$n$$ — целое число. Тогда:
- если $$0^\circ < a_0 < 90^\circ$$, то угол лежит в I четверти;
- если $$90^\circ < a_0 < 180^\circ$$, то во II четверти;
- если $$180^\circ < a_0 < 270^\circ$$, то в III четверти;
- если $$270^\circ < a_0 < 360^\circ$$, то в IV четверти.
Углы $$a=90^\circ k$$, где $$k$$ — целое число, не относятся ни к какой четверти: они лежат на осях координат.
Радианом называется угол поворота начального радиуса против часовой стрелки, при котором его подвижный конец описывает дугу, равную радиусу.
Чтобы перевести градусы в радианы, используют формулу
$$\alpha^\circ=\frac{\pi \alpha}{180}\text{ рад}.$$
Например,
$$45^\circ=\frac{\pi \cdot 45}{180}=\frac{\pi}{4}.$$
Чтобы перевести радианы в градусы, используют формулу
$$\beta\text{ рад}=\frac{180\beta}{\pi}^\circ.$$
Например,
$$\frac{\pi}{3}\text{ рад}=\frac{180}{\pi}\cdot \frac{\pi}{3}=60^\circ.$$
Пусть при повороте начального радиуса $$OA$$ на угол $$a$$ его конец переходит в точку $$B(x;y)$$. Тогда:
$$\sin a=\frac{y}{OA}, \qquad \cos a=\frac{x}{OA}.$$
Пусть при повороте начального радиуса $$OA$$ на угол $$a$$ его конец переходит в точку $$B(x;y)$$. Тогда:
$$\tg a=\frac{y}{x}, \qquad \ctg a=\frac{x}{y}.$$
Области определения и значения тригонометрических функций:
- $$f(x)=\sin x,$$ $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ $$E(f)=[-1;1];$$
- $$f(x)=\cos x,$$ $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ $$E(f)=[-1;1];$$
- $$f(x)=\tg x,$$ $$D(f)\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,$$ $$E(f)=(-\infty;+\infty);$$
- $$f(x)=\ctg x,$$ $$D(f)\ne \pi n,$$ $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Иррациональным уравнением называют уравнение, которое содержит переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.
Уравнение вида $$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$$ решают так:
- при чётном $$n$$ оно равносильно системе
$$\begin{cases} f(x)=g^n(x),\\ g(x)\ge 0; \end{cases}$$
- при нечётном $$n$$ оно равносильно уравнению
$$f(x)=g^n(x).$$
Иррациональным неравенством называют неравенство, которое содержит переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.
Неравенства вида $$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$$ и $$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$ решают так:
- при чётном $$n$$
$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g^n(x); \end{cases}$$
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x) \iff \begin{cases} g(x)<0,\\ f(x)\ge 0; \end{cases}$$
или
$$\begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)\ge 0,\\ f(x)>g^n(x). \end{cases}$$
- при нечётном $$n$$
$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x) \iff f(x)<g^n(x),$$
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x) \iff f(x)>g^n(x).$$
