Контрольные вопросы Параграф 2 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Сформулируйте свойства функции y=ax^2 для случаев a > 0 и a < 0. 3. Изобразите схематически график функции y=ax^2+bx+c для случая, когда a > 0 и D > 0, и перечислите свойства этой функции.
4. В чём различие и сходство в свойствах функциий y=x^2-4x+1 и y=-x^2+4x-1?

1. Любую функцию, которую можно задать формулой вида $$y=ax^2+bx+c,$$ где $$a\ne 0,$$ называют квадратичной функцией.

2. Свойства функции $$y=ax^2,$$ $$a>0$$:

   • функция чётная;
   • $$y=0$$ при $$x=0,$$ а при $$x\ne 0$$ имеем $$y>0$$;
   • область значений: $$E(y)=[0;+\infty);$$
   • убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty);$$
   • наименьшее значение $$y=0$$ при $$x=0.$$

   Свойства функции $$y=ax^2,$$ $$a<0$$:

   • функция чётная;
   • $$y=0$$ при $$x=0,$$ а при $$x\ne 0$$ имеем $$y<0$$;
   • область значений: $$E(y)=(-\infty;0];$$
   • возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty);$$
   • наибольшее значение $$y=0$$ при $$x=0.$$

3. Если $$a>0$$ и $$D>0,$$ то график функции $$y=ax^2+bx+c$$ — парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось $$Ox$$ в двух точках.

   Свойства такой функции:

   • область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty);$$
   • нули функции:
     $$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$$
   • $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\right);$$
   • $$y>0$$ при $$x\in\left(-\infty;\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\right)\cup\left(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};+\infty\right);$$
   • область значений:
     $$E(y)=\left[\frac{4ac-b^2}{4a};+\infty\right);$$
   • убывает на $$\left(-\infty;-\frac{b}{2a}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{b}{2a};+\infty\right);$$
   • наименьшее значение:
     $$y_{\min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$$
     при
     $$x=-\frac{b}{2a}.$$

4. Для функций $$f(x)=x^2-4x+1$$ и $$g(x)=-x^2+4x-1$$ имеем:

   $$g(x)=-(x^2-4x+1)=-f(x).$$

   Значит, график функции $$g(x)$$ получается из графика функции $$f(x)$$ отражением относительно оси $$Ox.$$

   Общие свойства:

   • одинаковая область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty);$$
   • одинаковая абсцисса вершины: $$x=\frac{4}{2}=2;$$
   • одинаковые нули функции.

   Различные свойства:

   • у функций разные области значений;
   • разные ординаты вершин;
   • разные промежутки возрастания и убывания;
   • разные промежутки знакопостоянства.

Ответ

1) $$y=ax^2+bx+c,$$ где $$a\ne 0,$$ — квадратичная функция. 2) При $$a>0$$ парабола направлена вверх, при $$a<0$$ — вниз; соответствующие свойства указаны выше. 3) При $$a>0$$ и $$D>0$$ график — парабола, пересекающая ось $$Ox$$ в двух точках; её свойства перечислены выше. 4) Функции $$x^2-4x+1$$ и $$-x^2+4x-1$$ имеют одинаковые область определения, абсциссу вершины и нули, а различаются областью значений, ординатой вершины, промежутками монотонности и знакопостоянства.