Контрольные вопросы Параграф 15 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Какое уравнение называют иррациональным? Объясните, как решают уравнение вида $$\left(f(x)\right)^{\frac{1}{n}}=g(x)$$ при чётном $$n$$ и при нечётном $$n$$.
- Какое неравенство называют иррациональным? Как решают неравенства вида $$\left(f(x)\right)^{\frac{1}{n}}
- Что называется арифметическим корнем?
- Перечислите свойства арифметического корня и докажите одно из них.
- Дайте определение степени с рациональным показателем.
- Сформулируйте свойства степени с рациональным показателем. Докажите свойство $$a^{r_1}a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$$ для случая, когда $$r_1\in\mathbb{N}$$, $$r_2$$ — дробное число.
1. Иррациональным уравнением называют уравнение, которое содержит переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.
Уравнение вида $$\sqrt[n]{f(x)}=g(x)$$ решают так:
- при чётном $$n$$ переходят к системе
$$\begin{cases} f(x)=g^n(x),\\ g(x)\ge 0; \end{cases}$$ - при нечётном $$n$$ получают равносильное уравнение
$$f(x)=g^n(x).$$
2. Иррациональным неравенством называют неравенство, которое содержит переменную под знаком корня или в основании степени с дробным показателем.
Неравенства вида $$\sqrt[n]{f(x)}
- при чётном $$n$$:
- $$\sqrt[n]{f(x)}
- $$\sqrt[n]{f(x)}>g(x)$$ равносильно совокупности
$$\begin{cases} g(x)<0,\\ f(x)\ge 0 \end{cases}$$ или $$\begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)>g^n(x). \end{cases}$$ - $$\sqrt[n]{f(x)}>g(x)$$ равносильно совокупности
- $$\sqrt[n]{f(x)}
- при нечётном $$n$$:
- $$\sqrt[n]{f(x)}
- $$\sqrt[n]{f(x)}>g(x)$$ равносильно $$f(x)>g^n(x).$$
- $$\sqrt[n]{f(x)}
3. Арифметическим корнем $$n$$-й степени из числа $$a$$ называется такое неотрицательное число $$b$$, что $$b^n=a.$$
4. Свойства арифметического корня:
- $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$ при $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0$$;
- $$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ при $$a\ge 0$$, $$b>0$$;
- $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$$ при $$a\ge 0$$.
Докажем свойство $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}.$$ Пусть $$x=\sqrt[n]{a}$$ и $$y=\sqrt[n]{b}.$$ Тогда $$x^n=a$$ и $$y^n=b,$$ значит
$$\left(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\right)^n=(\sqrt[n]{a})^n\cdot(\sqrt[n]{b})^n=ab.$$
Следовательно, $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}.$$
5. Степенью с рациональным показателем называют выражение вида $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},$$ где $$m\in \mathbb{Z},$$ $$n\in \mathbb{N},$$ $$a>0.$$
6. Свойства степени с рациональным показателем:
- $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2};$$
- $$a^{r_1}:a^{r_2}=a^{r_1-r_2};$$
- $$\left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1r_2};$$
- $$\left(ab\right)^r=a^r b^r;$$
- $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}.$$
Докажем свойство $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$$ для случая, когда $$r_1\in \mathbb{N},$$ а $$r_2$$ — дробное число. Пусть $$r_2=\dfrac{m}{n}.$$ Тогда
$$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1}\cdot a^{\frac{m}{n}}=a^{r_1}\cdot \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{nr_1}}\cdot \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a^{nr_1+m}}=a^{r_1+\frac{m}{n}}=a^{r_1+r_2}.$$
