Контрольные вопросы Параграф 23 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Сделайте вывод формул косинуса суммы и синуса суммы и разности двух углов.
3. Выведите формулы тангенса суммы и разности двух углов.
4. Выведите формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла.
5. Выведите формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла.
6. Выведите формулы суммы и разности синусов, суммы и разности косинусов и суммы и разности тангенсов двух углов.

1. Формулу косинуса разности можно получить, рассматривая точки на единичной окружности с координатами $$B(\cos a;\sin a)$$ и $$C(\cos \beta;\sin \beta)$$. Тогда

   $$ BC^2=(\cos \beta-\cos a)^2+(\sin \beta-\sin a)^2. $$

   С другой стороны, после поворота на угол $$\beta$$ получаем

   $$ BC^2=2-2\cos(a-\beta). $$

   Приравнивая выражения, получаем

   $$ \cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta. $$

2. Из формулы косинуса разности следуют формулы суммы и разности:

   $$ \cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta, $$

   $$ \sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta, $$

   $$ \sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta. $$

3. Формулы для тангенса получаем делением формулы синуса на формулу косинуса:

   $$ \tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\,\tg \beta}, $$

   $$ \tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\,\tg \beta}. $$

4. Формулы двойного угла:

   $$ \sin 2a=\sin(a+a)=2\sin a\cos a, $$

   $$ \cos 2a=\cos(a+a)=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a, $$

   $$ \tg 2a=\tg(a+a)=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}. $$

5. Формулы половинного угла:

   $$ \cos^2 \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}, \qquad \sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}, $$

   $$ \tg \frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{1-\cos a}{\sin a}. $$

6. Формулы суммы и разности синусов и косинусов:

   $$ \sin a+\sin \beta=2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}, $$

   $$ \sin a-\sin \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\sin \frac{a-\beta}{2}, $$

   $$ \cos a+\cos \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}, $$

   $$ \cos a-\cos \beta=-2\sin \frac{a+\beta}{2}\sin \frac{a-\beta}{2}. $$

   Формулы суммы и разности тангенсов:

   $$ \tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, $$

   $$ \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}. $$

Ответ

$$ \cos(a-\beta)=\cos a\cos \beta+\sin a\sin \beta; $$
$$ \cos(a+\beta)=\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta; $$
$$ \sin(a+\beta)=\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta; $$
$$ \sin(a-\beta)=\sin a\cos \beta-\cos a\sin \beta; $$
$$ \tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a\,\tg \beta}, \qquad \tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a\,\tg \beta}; $$
$$ \sin 2a=2\sin a\cos a, \qquad \cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a, \qquad \tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}; $$
$$ \cos^2 \frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}, \qquad \sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}, \qquad \tg \frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{1-\cos a}{\sin a}; $$
$$ \sin a+\sin \beta=2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}, $$
$$ \sin a-\sin \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\sin \frac{a-\beta}{2}, $$
$$ \cos a+\cos \beta=2\cos \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}, $$
$$ \cos a-\cos \beta=-2\sin \frac{a+\beta}{2}\sin \frac{a-\beta}{2}, $$
$$ \tg a+\tg \beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\cos a\cos \beta}, \qquad \tg a-\tg \beta=\frac{\sin(a-\beta)}{\cos a\cos \beta}. $$