Контрольные вопросы Параграф 22 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Напишите (формулы приведения для углов ?-? и ?+?. Докажите какую-нибудь из этих формул.
3. Выведите формулы, выражающие связь между синусом и косинусом, между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента.
- Пусть точка $$B(x;y)$$ лежит на конечной стороне угла $$a$$, а точка $$C(-y;x)$$ — на конечной стороне угла $$\frac{\pi}{2}+a$$. Тогда
$$\angle BOC=\angle B+\angle C=\angle B+\left(90^\circ-\angle B\right)=90^\circ.$$
Следовательно,
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=\frac{x}{R}=\cos a,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\frac{y}{R}=-\sin a.$$ - Формулы приведения:
$$\sin(\pi-a)=\sin a,\qquad \sin(\pi+a)=-\sin a;$$
$$\cos(\pi-a)=-\cos a,\qquad \cos(\pi+a)=-\cos a;$$
$$\tg(\pi-a)=-\tg a,\qquad \tg(\pi+a)=\tg a;$$
$$\ctg(\pi-a)=-\ctg a,\qquad \ctg(\pi+a)=\ctg a.$$Докажем, например, формулу $$\sin(\pi+a)=-\sin a$$.
Пусть точка $$B(x;y)$$ соответствует углу $$a$$, а точка $$C(-x;-y)$$ — углу $$\pi+a$$. Тогда
$$\angle (OB\cap Ox)=\angle (OC\cap Ox),\qquad \angle BOC=180^\circ.$$
Поэтому
$$\sin(\pi+a)=\frac{-y}{R}=-\sin a.$$ - Формулы связи между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же аргумента:
$$x^2+y^2=R^2,$$
откуда
$$\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{R^2}=1,$$
то есть
$$\cos^2 a+\sin^2 a=1.$$Кроме того,
$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a},$$
$$\tg^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a},$$
$$\tg^2 a=\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a},$$
$$\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}-1,$$
$$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}.$$Аналогично,
$$\frac{1}{\tg^2 a}=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$
$$\frac{1}{\tg^2 a}=\frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a},$$
$$1+\frac{1}{\tg^2 a}=\frac{1}{\sin^2 a}.$$
Ответ
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=\cos a,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\sin a;$$
$$\sin(\pi-a)=\sin a,\ \sin(\pi+a)=-\sin a,\ \cos(\pi-a)=-\cos a,\ \cos(\pi+a)=-\cos a;$$
$$\tg(\pi-a)=-\tg a,\ \tg(\pi+a)=\tg a,\ \ctg(\pi-a)=-\ctg a,\ \ctg(\pi+a)=\ctg a;$$
$$\sin^2 a+\cos^2 a=1,\qquad \tg a=\frac{\sin a}{\cos a},\qquad 1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}.$$
