Контрольные вопросы Параграф 14 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Что называется арифметическим корнем?
- Перечислите свойства арифметического корня и докажите одно из них.
- Дайте определение степени с рациональным показателем.
- Сформулируйте свойства степени с рациональным показателем. Докажите свойство $$a^{r_1}a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$$ для случая, когда $$r_1?N$$, $$r_2$$ — дробное число.
- Какая функция называется обратимой? Приведите пример двух взаимно обратных функции.
- Сформулируйте свойства взаимно обратных функций.
- Сформулируйте свойства функции $$g(x)=x^{1/n}$$, если $$n$$ — нечётное число и если $$n$$ — чётное число. Покажите, как выглядит график функции $$g$$ при нечётном $$n$$ и чётном $$n$$.
1. Арифметическим корнем $$n$$-й степени из числа $$a$$ называется такое неотрицательное число $$b$$, что $$b^n=a$$.
2. Свойства арифметического корня:
- Для любых $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$:
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}.$$ - Для любых $$a \ge 0$$ и $$b > 0$$:
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$$ - Для любого $$a \ge 0$$ и любого $$m \in \mathbb{N}$$:
$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}.$$
Докажем первое свойство:
$$\left(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n\cdot\left(\sqrt[n]{b}\right)^n = ab.$$
Значит, $$\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$ — это арифметический корень $$n$$-й степени из $$ab$$, то есть
$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}.$$
3. Степенью с рациональным показателем называется выражение вида $$a^{\frac{m}{n}}$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$, $$n \in \mathbb{N}$$, $$a>0$$. При этом
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$
4. Свойства степени с рациональным показателем:
- Для любых $$a>0$$ и $$r_1, r_2 \in \mathbb{R}$$:
$$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}, \qquad a^{r_1}:a^{r_2}=a^{r_1-r_2}, \qquad \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1r_2}.$$ - Для любых $$a>0$$, $$b>0$$ и $$r \in \mathbb{R}$$:
$$(ab)^r=a^r b^r, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}.$$
Докажем свойство $$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$$ для случая, когда $$r_1 \in \mathbb{N}$$, а $$r_2$$ — дробное число.
Пусть $$r_2=\frac{m}{n}$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$, $$n \in \mathbb{N}$$. Тогда
$$a^{r_1}\cdot a^{r_2} = a^{r_1}\cdot a^{\frac{m}{n}} = a^{r_1}\cdot \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{nr_1}}\cdot \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{nr_1+m}} = a^{r_1+\frac{m}{n}} = a^{r_1+r_2}.$$
5. Обратимой называется функция, для которой обратное соответствие между множеством значений и множеством определения тоже является функцией.
Пример взаимно обратных функций:
$$f(x)=5x+3, \qquad g(x)=\frac{x-3}{5}.$$
6. Свойства взаимно обратных функций $$f$$ и $$g$$:
- область определения функции $$f$$ является областью значений функции $$g$$, а область значений функции $$f$$ является областью определения функции $$g$$;
- если функция $$f$$ возрастает, то и обратная ей функция $$g$$ возрастает; если $$f$$ убывает, то и $$g$$ убывает;
- если обратимая функция $$f$$ нечётная, то и обратная ей функция $$g$$ нечётная.
7. Для функции $$g(x)=\sqrt[n]{x}$$:
Если $$n$$ нечётное:
- при $$x=0$$ имеем $$g(x)=0$$;
- при $$x<0$$ имеем $$g(x)<0$$;
- при $$x>0$$ имеем $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция нечётная;
- множество значений $$E(g)=\mathbb{R}$$.
График проходит через точки $$(-1,-1)$$, $$(0,0)$$, $$(1,1)$$ и симметричен относительно начала координат.
Если $$n$$ чётное:
- при $$x=0$$ имеем $$g(x)=0$$;
- при $$x>0$$ имеем $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- множество значений $$E(g)=[0;+\infty)$$.
График проходит через точки $$(0,0)$$, $$(1,1)$$, $$(4,2)$$ и расположен только в верхней полуплоскости.
Ответ
Свойства арифметического корня и степени с рациональным показателем приведены выше; примеры взаимно обратных функций: $$f(x)=5x+3$$ и $$g(x)=\frac{x-3}{5}$$; для $$g(x)=\sqrt[n]{x}$$ при нечётном $$n$$ функция определена на $$\mathbb{R}$$, возрастает, нечётная, $$E(g)=\mathbb{R}$$, а при чётном $$n$$ определена при $$x\ge 0$$, возрастает, ни чётная, ни нечётная, $$E(g)=[0;+\infty)$$.
