Контрольные вопросы Параграф 13 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Какая функция называется обратимой? Приведите пример двух взаимно обратных функций.
- Сформулируйте свойства взаимно обратных функций.
- Сформулируйте свойства функции $$g(x)=x^{1/n}$$, если $$n$$ — нечётное число и если $$n$$ — чётное число. Покажите, как выглядит график функции $$g$$ при нечётном $$n$$ и чётном $$n$$.
- Что называется пределом последовательности? Разъясните геометрический смысл предела последовательности.
- Сформулируйте свойства сходящихся последовательностей.
- Какая последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией? Запишите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
1. Функция с областью определения $$X$$ и областью значений $$Y$$ называется обратимой, если обратное ей соответствие между множеством $$Y$$ и множеством $$X$$ является функцией.
Если функция $$f$$ обратима, то обратное ей соответствие называют функцией, обратной функции $$f$$.
Пример взаимно обратных функций:
$$f(x)=5x+3,\qquad g(x)=\frac{x-3}{5}.$$
Ход решения
2. Свойства взаимно обратных функций $$f$$ и $$g$$:
- Область определения функции $$f$$ является областью значений функции $$g$$, а область значений функции $$f$$ является областью определения функции $$g$$.
- Если функция $$f$$ возрастающая, то обратная ей функция $$g$$ тоже возрастающая; если $$f$$ убывающая, то и $$g$$ убывающая.
- Если обратимая функция $$f$$ нечётная, то обратная ей функция $$g$$ также нечётная.
3. Рассмотрим функцию $$g(x)=\sqrt[n]{x}.$$
Если $$n$$ — нечётное число, то:
- при $$x=0$$ имеем $$g(x)=0$$; при $$x<0$$ получаем $$g(x)<0$$; при $$x>0$$ получаем $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция нечётная;
- множество значений $$E(g)=\mathbb{R}.$$
График такой функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях.
Если $$n$$ — чётное число, то:
- при $$x=0$$ имеем $$g(x)=0$$; при $$x>0$$ получаем $$g(x)>0$$;
- функция возрастает;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- множество значений $$E(g)=[0;+\infty).$$
График такой функции начинается в точке $$\left(0,0\right)$$ и расположен только в I четверти.
4. Число $$b$$ называется пределом последовательности $$\left(a_n\right)$$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $$\varepsilon$$ существует натуральное число $$N$$ такое, что для всех членов последовательности с номерами $$n>N$$ верно неравенство $$|a_n-b|<\varepsilon.$$
Геометрический смысл предела состоит в том, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в любую заранее заданную $$\varepsilon$$-окрестность точки $$b$$.
Свойства сходящихся последовательностей:
- последовательность может иметь только один предел;
- если все члены последовательности $$\left(x_n\right)$$ равны $$b$$, то $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$$;
- если последовательность $$\left(x_n\right)$$ имеет предел, то она ограничена.
5. Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется геометрическая прогрессия со знаменателем $$q$$, для которого $$|q|<1.$$
Сумма такой прогрессии равна
$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
Ответ
Функция обратима, если обратное ей соответствие является функцией; примеры: $$f(x)=5x+3$$ и $$g(x)=\frac{x-3}{5}$$. Свойства взаимно обратных функций: области определения и значений меняются местами; монотонность сохраняется; нечётность сохраняется. Для $$g(x)=\sqrt[n]{x}$$ при нечётном $$n$$: $$E(g)=\mathbb{R}$$, функция нечётная, возрастает; при чётном $$n$$: $$E(g)=[0;+\infty)$$, функция ни чётная, ни нечётная, возрастает. Предел последовательности $$\left(a_n\right)$$ — число $$b$$, если $$|a_n-b|<\varepsilon$$ при достаточно больших $$n$$; свойства: единственность предела, предел постоянной последовательности равен этому числу, сходящаяся последовательность ограничена. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет $$|q|<1$$, её сумма $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
