Контрольные вопросы Параграф 21 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Запишите формулы для вычисления нулей каждой из тригонометрических функций.
3. В каких промежутках тригонометрические функции принимают положительные значения, а в каких — отрицательные?
4. В каких промежутках тригонометрические функции возрастают, а в каких — убывают?
5. Что называется периодом функции? Назовите основной период каждой тригонометрической функции.
6. Сформулируйте основные свойства функции y=sin(x).
7. Сформулируйте основные свойства функции y=tg(x).

1. Чётность и нечётность тригонометрических функций:

   Нечётные функции: $$\sin x,\ \tg x,\ \ctg x.$$

   Чётная функция: $$\cos x.$$

2. Нули функций:

   $$\sin x=0 \iff x=\pi n;$$
   $$\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$$
   $$\tg x=0 \iff x=\pi n;$$
   $$\ctg x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   где $$n\in \mathbb{Z}.$$

3. Промежутки знакопостоянства:

   $$\sin x>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\ \pi+2\pi n),$$
   $$\sin x<0 \text{ при } x\in(\pi+2\pi n;\ 2\pi+2\pi n);$$

   $$\cos x>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right),$$
   $$\cos x<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right);$$

   $$\tg x>0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$
   $$\tg x<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pi n\right);$$

   $$\ctg x>0 \text{ при } x\in\left(\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right),$$
   $$\ctg x<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pi n\right).$$

4. Промежутки монотонности:

   $$\sin x \text{ возрастает при } x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$
   $$\sin x \text{ убывает при } x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$

   $$\cos x \text{ возрастает при } x\in[\pi+2\pi n;\ 2\pi+2\pi n],$$
   $$\cos x \text{ убывает при } x\in[2\pi n;\ \pi+2\pi n];$$

   $$\tg x \text{ возрастает при } x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$

   $$\ctg x \text{ убывает при } x\in(\pi n;\ \pi+\pi n).$$

5. Период функции:

   Число $$T\neq 0$$ называется периодом функции $$f$$, если для любого $$x\in D(f)$$ числа $$x+T$$ и $$x-T$$ принадлежат $$D(f)$$ и выполняется равенство $$f(x+T)=f(x-T)=f(x).$$

   Основной период:

   $$\sin x:\ T=2\pi;$$
   $$\cos x:\ T=2\pi;$$
   $$\tg x:\ T=\pi;$$
   $$\ctg x:\ T=\pi.$$

6. Основные свойства функции $$y=\sin x$$:

   1) $$D(y)=(-\infty;+\infty);$$
   2) $$y=0$$ при $$x=\pi n;$$
   3) $$y>0$$ при $$x\in(2\pi n;\ \pi+2\pi n),$$ $$y<0$$ при $$x\in(\pi+2\pi n;\ 2\pi+2\pi n);$$
   4) функция нечётная;
   5) возрастает при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$ убывает при $$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$
   6) функция периодическая, $$T=2\pi;$$
   7) $$E(y)=[-1;1];$$
   8) $$y_{\max}=1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$y_{\min}=-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;$$
   9) функция необратима.

7. Основные свойства функции $$y=\tg x$$:

   1) $$D(y)\neq \frac{\pi}{2}+\pi n;$$
   2) $$y=0$$ при $$x=\pi n;$$
   3) $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pi n\right);$$
   4) возрастает при $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{2}+\pi n\right);$$
   5) функция нечётная;
   6) функция периодическая, $$T=\pi;$$
   7) $$E(y)=(-\infty;+\infty);$$
   8) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
   9) функция необратима.

Ответ

1) Нечётные: $$\sin x,\ \tg x,\ \ctg x$$; чётная: $$\cos x$$. 2) $$\sin x=0 \iff x=\pi n$$, $$\cos x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$\tg x=0 \iff x=\pi n$$, $$\ctg x=0 \iff x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$. 3)–7) Свойства и промежутки указаны выше.