Контрольные вопросы Параграф 20 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

2. Сформулируйте определение радиана. Как выразить в радианах угол поворота, представленный в градусах? Приведите пример. Как выразить в градусах угол поворота, представленный в радианах? Приведите пример.
3. Сформулируйте определение синуса и косинуса угла поворота.
4. Сформулируйте определение тангенса и котангенса угла поворота.
5. Назовите область определения и область значений каждой тригонометрической функции.

1. Чтобы определить, углом какой четверти является угол поворота $$a$$, его представляют в виде

   $$a=a_0+360^\circ n,$$

   где $$0^\circ \le a_0 < 360^\circ$$, $$n$$ — целое число.

   Тогда:

   • если $$0^\circ < a_0 < 90^\circ$$, то $$a$$ — угол I четверти;
   • если $$90^\circ < a_0 < 180^\circ$$, то $$a$$ — угол II четверти;
   • если $$180^\circ < a_0 < 270^\circ$$, то $$a$$ — угол III четверти;
   • если $$270^\circ < a_0 < 360^\circ$$, то $$a$$ — угол IV четверти.

   Углы $$a=90^\circ k$$, где $$k$$ — целое число, лежат на осях координат и не относятся ни к одной четверти.

2. Радианом называется угол поворота, при котором длина дуги, описываемой концом радиуса, равна длине радиуса.

   Перевод из градусов в радианы:

   $$\alpha^\circ=\frac{\pi \alpha}{180}\text{ рад}.$$

   Например,

   $$45^\circ=\frac{\pi\cdot 45}{180}=\frac{\pi}{4}.$$

   Перевод из радиан в градусы:

   $$x\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}\,x.$$

   Например,

   $$\frac{\pi}{3}\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot \frac{\pi}{3}=60^\circ.$$

3. Пусть при повороте начального радиуса $$OA$$ на угол $$a$$ точка $$A$$ переходит в точку $$B(x;y)$$.

   Синусом угла поворота называется отношение ординаты точки $$B$$ к длине радиуса:

   $$\sin a=\frac{y}{OA}.$$

   Косинусом угла поворота называется отношение абсциссы точки $$B$$ к длине радиуса:

   $$\cos a=\frac{x}{OA}.$$

4. Тангенсом угла поворота называется отношение ординаты точки $$B(x;y)$$ к её абсциссе:

   $$\tg a=\frac{y}{x}.$$

   Котангенсом угла поворота называется отношение абсциссы точки $$B(x;y)$$ к её ординате:

   $$\ctg a=\frac{x}{y}.$$

5. Область определения и область значений тригонометрических функций:

   • $$f(x)=\sin x,$$ $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ $$E(f)=[-1;1];$$
   • $$f(x)=\cos x,$$ $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ $$E(f)=[-1;1];$$
   • $$f(x)=\tg x,$$ $$D(f)\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z},$$ $$E(f)=(-\infty;+\infty);$$
   • $$f(x)=\ctg x,$$ $$D(f)\ne \pi n,\ n\in \mathbb{Z},$$ $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

1) Четверть угла определяют по приведению его к виду $$a_0+360^\circ n$$; углы $$90^\circ k$$ не относятся ни к одной четверти. 2) $$1\text{ рад}$$ — угол, при котором длина дуги равна радиусу; $$\alpha^\circ=\frac{\pi\alpha}{180}\text{ рад}$$, $$x\text{ рад}=\frac{180^\circ}{\pi}x$$. 3) $$\sin a=\frac{y}{OA},\ \cos a=\frac{x}{OA}$$. 4) $$\tg a=\frac{y}{x},\ \ctg a=\frac{x}{y}$$. 5) $$D(\sin x)=D(\cos x)=(-\infty;+\infty),\ E(\sin x)=E(\cos x)=[-1;1];\ D(\tg x)=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi n\right\},\ E(\tg x)=\mathbb{R};\ D(\ctg x)=\mathbb{R}\setminus\{\pi n\},\ E(\ctg x)=\mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}.$$