Контрольные вопросы Параграф 12 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Число $$b$$ называется пределом последовательности $$\left(a_n\right)$$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $$\varepsilon$$ существует натуральное число $$N$$ такое, что для всех $$n>N$$ выполняется неравенство $$|a_n-b|<\varepsilon$$.

Геометрический смысл предела состоит в том, что все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в любую заранее заданную окрестность точки $$b$$, то есть в промежуток $$\left(b-\varepsilon;\,b+\varepsilon\right)$$.

2. Свойства сходящихся последовательностей:

1. последовательность может иметь только один предел;
2. если все члены последовательности $$\left(x_n\right)$$ равны $$b$$, то $$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$$;
3. если последовательность $$\left(x_n\right)$$ имеет предел, то она ограничена.

3. Бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем $$q$$, где $$|q|<1$$, называют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Её сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $$q$$:

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

2. Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого её члена, начиная со второго, выполняется

$$\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_{n+1}}{b_n}=q.$$

Отсюда следует характеристическое свойство:

$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.$$

3. Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=b_1+b_2+\dots+b_n,$$

$$S_nq=b_2+b_3+\dots+b_n+b_{n+1},$$

$$S_nq-S_n=b_{n+1}-b_1,$$

$$S_n(q-1)=b_1(q^n-1),$$

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

Найдём сумму членов геометрической прогрессии с четвёртого по восьмой включительно, если $$a_1=576$$, $$q=-0{,}5$$.

Сначала найдём четвёртый член:

$$a_4=a_1q^3=576\cdot(-0{,}5)^3=-72.$$

Тогда

$$S_{4-8}=a_4\cdot\frac{q^5-1}{q-1}=-72\cdot\frac{(-0{,}5)^5-1}{-0{,}5-1}=-49{,}5.$$

Ответ: $$-49{,}5$$.