Контрольные вопросы Параграф 11 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $$q$$:

   $$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

2. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность с ненулевыми членами является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого $$n\ge 2$$ выполняется

   $$\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{b_{n+1}}{b_n}=q,$$

   или, что то же самое,

   $$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.$$

3. Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q\ne 1$$ равна

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

   Найдём сумму членов с четвёртого по восьмой включительно:

   $$b_4=b_1q^3=576\cdot(-0{,}5)^3=-72.$$

   Тогда

   $$S_{4-8}=b_4\cdot\frac{q^5-1}{q-1}=-72\cdot\frac{(-0{,}5)^5-1}{-0{,}5-1}.$$

   $$S_{4-8}=-72\cdot\frac{-\frac{31}{32}}{-\frac{3}{2}}=-49{,}5.$$

Ход решения

1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $$d$$:

   $$a_n=a_1+d(n-1).$$

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого $$n\ge 2$$ выполняется

   $$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d,$$

   или

   $$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}.$$

3. Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

   $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   Найдём сумму членов с шестнадцатого по двадцать шестой включительно.

   Сначала найдём разность прогрессии:

   $$a_{12}=a_1+11d,$$

   $$9{,}3=2{,}7+11d,$$

   $$11d=6{,}6,\quad d=0{,}6.$$

   Теперь найдём $$a_{16}$$ и $$a_{26}$$:

   $$a_{16}=a_1+15d=2{,}7+15\cdot 0{,}6=11{,}7,$$

   $$a_{26}=a_1+25d=2{,}7+25\cdot 0{,}6=17{,}7.$$

   Тогда

   $$S_{16-26}=\frac{a_{16}+a_{26}}{2}\cdot 11=\frac{11{,}7+17{,}7}{2}\cdot 11=\frac{29{,}4\cdot 11}{2}=161{,}7.$$

Ответ

1) $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$; 2) $$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$$; 3) $$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$, $$S_{4-8}=-49{,}5$$.

1) $$a_n=a_1+d(n-1)$$; 2) $$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$$; 3) $$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$, $$S_{16-26}=161{,}7$$.