Контрольные вопросы Параграф 1 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
2. Какая функция называется чётной; нечётной? В чём состоит особенность графика чётной функции; нечётной функции? Приведите примеры чётной функции; нечётной функции.
3. Какая функция называется ограниченной, неограниченной? Приведите примеры ограниченной функции; функции, ограниченной сверху; функции, ограниченной снизу.
4. Найдите область значений функции y=1/(x^2+1).
Функция $$f$$ называется возрастающей на множестве $$X$$, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на множестве $$X$$, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функцию, которая возрастает или убывает на всём множестве $$X$$, называют монотонной на множестве $$X$$.
Примеры: $$y=\sqrt{x},\ y=x^3,\ y=x+3$$ — возрастающие функции; $$y=5-x,\ y=\frac{1}{x},\ y=\sqrt{2-x}$$ — убывающие функции.
Функция $$f$$ называется чётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение аргумента $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=f(x)$$.
Функция $$f$$ называется нечётной, если для любого $$x \in D(f)$$ противоположное значение аргумента $$-x \in D(f)$$ и выполняется равенство $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Примеры: $$y=x^2,\ y=x^4+5$$ — чётные функции; $$y=\frac{1}{x},\ y=x^3+x$$ — нечётные функции.
Функция называется ограниченной, если существуют числа $$a$$ и $$b$$ такие, что для любого значения аргумента $$x$$ выполняется неравенство $$a \le f(x) \le b$$. Если такого ограничения нет, функция называется неограниченной.
Примеры: $$y=\frac{5}{x^2+1}$$ — ограниченная функция; $$y=5+2x-x^2$$ — ограничена сверху; $$y=\sqrt{x}+5$$ — ограничена снизу.
Найдём область значений функции $$y=\frac{1}{x^2+1}$$.
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$x^2+1 \ge 1$$, значит
$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$
При $$x=0$$ получаем $$y=1$$, а при больших по модулю $$x$$ значение $$y$$ стремится к нулю, но не достигает его.
Ответ
1) $$f$$ возрастает на $$X$$, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Монотонная функция — функция, которая на всём множестве $$X$$ либо возрастает, либо убывает.
2) $$f$$ чётная, если $$f(-x)=f(x)$$; нечётная, если $$f(-x)=-f(x)$$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат, нечётной — относительно начала координат.
3) Ограниченная функция удовлетворяет неравенству $$a \le f(x) \le b$$. Неограниченная функция такого ограничения не имеет.
4) $$E(y)=(0;1]$$.
