Контрольные вопросы Параграф 10 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $$d$$:

$$a_n=a_1+d(n-1).$$

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:

$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$$

Это равносильно тому, что

$$a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n.$$

3. Сумма первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n,$$

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$

а так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ то

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Найдём сумму членов с шестнадцатого по двадцать шестой включительно.

Сначала найдём разность прогрессии:

$$a_{12}=a_1+11d,$$

$$9{,}3=2{,}7+11d,$$

$$11d=6{,}6,$$

$$d=0{,}6.$$

Тогда

$$a_{16}=a_1+15d=2{,}7+15\cdot 0{,}6=11{,}7,$$

$$a_{26}=a_1+25d=2{,}7+25\cdot 0{,}6=17{,}7.$$

Число слагаемых:

$$26-16+1=11.$$

Искомая сумма:

$$S=\frac{a_{16}+a_{26}}{2}\cdot 11=\frac{11{,}7+17{,}7}{2}\cdot 11=\frac{29{,}4}{2}\cdot 11=161{,}7.$$

1. Способы задания последовательностей:

• формулой $$n$$-го члена;
• рекуррентно;
• словесно.

Примеры:

• $$a_n=(-1)^n\cdot 5n;$$
• $$a_1=2,\quad a_n=a_{n-1}-4;$$
• последовательность простых чисел.

2. Возрастающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего:

$$a_{n+1}>a_n.$$

Убывающая последовательность — это последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего:

$$a_{n+1}<a_n.$$

Примеры:

• возрастающая: $$a_n=2n+3;$$
• убывающая: $$a_n=\frac{1}{n}.$$

3. Ограниченность последовательности:

• последовательность ограничена сверху, если существует число $$M$$ такое, что $$a_n\le M$$ при любом $$n$$;
• последовательность ограничена снизу, если существует число $$m$$ такое, что $$a_n\ge m$$ при любом $$n$$;
• последовательность ограничена, если она ограничена и сверху, и снизу.

Примеры:

• ограниченная последовательность: $$a_n=\frac{5}{n};$$
• не ограниченная ни сверху, ни снизу: $$b_n=(-3)^n.$$

4. Принцип математической индукции: если некоторое утверждение верно при $$n=1$$ и из его справедливости при $$n=k$$ следует справедливость при $$n=k+1$$, то это утверждение верно для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$S_{16-26}=161{,}7.$$