Упр.996 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение ($$n\in\mathbb{N}$$ и $$n>1$$): а) $$\left((x+1)^2\right)^{\frac{1}{n}}+\left((x-1)^2\right)^{\frac{1}{n}}=4(x^2-1)^{\frac{1}{n}}$$; б) $$\left((1+x)^2\right)^{\frac{1}{n}}-\left((1-x)^2\right)^{\frac{1}{n}}=(1-x^2)^{\frac{1}{n}}$$.
2. Функция $$y=x^n$$, где $$n$$ — натуральное число, обратима. Каким может быть значение $$n$$?

Функция $$y=x^n$$ обратима тогда и только тогда, когда она взаимно однозначна на всей области определения. Для степенной функции это возможно, если она строго монотонна на всей числовой прямой.

При чётном $$n$$ функция $$y=x^n$$ не является взаимно однозначной, так как, например, $$x$$ и $$-x$$ дают одно и то же значение:

$$x^n=(-x)^n.$$

Значит, обратимой может быть только функция с нечётным показателем степени.

Следовательно, $$n$$ — нечётное натуральное число, то есть

$$n=2k-1,\quad k\in \mathbb{N}.$$

Ответ

$$n$$ — нечётное число.