Упр.996 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 996. Функция y=x^n, где n — натуральное число, обратима. Каким может быть значение n?

Функция $$y=x^n$$ обратима тогда и только тогда, когда она взаимно однозначна на всей области определения. Для степенной функции это возможно, если она строго монотонна на всей числовой прямой.

При чётном $$n$$ функция $$y=x^n$$ не является взаимно однозначной, так как, например, $$x$$ и $$-x$$ дают одно и то же значение:

$$x^n=(-x)^n.$$

Значит, обратимой может быть только функция с нечётным показателем степени.

Следовательно, $$n$$ — нечётное натуральное число, то есть

$$n=2k-1,\quad k\in \mathbb{N}.$$

Ответ

$$n$$ — нечётное число.