Упр.994 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 994. Докажите, что уравнение x^4+5x^3+6x^2+3x+vx=0 имеет только один корень.

Рассмотрим уравнение

$$x^4+5x^3+6x^2+3x+\sqrt{x}=0.$$

Область определения: $$x \ge 0.$$

При $$x \ge 0$$ все слагаемые левой части неотрицательны:

$$x^4 \ge 0,\quad 5x^3 \ge 0,\quad 6x^2 \ge 0,\quad 3x \ge 0,\quad \sqrt{x} \ge 0.$$

Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит,

$$x^4=0,\quad 5x^3=0,\quad 6x^2=0,\quad 3x=0,\quad \sqrt{x}=0.$$

Отсюда получаем единственное значение:

$$x=0.$$

Проверка:

$$0^4+5\cdot 0^3+6\cdot 0^2+3\cdot 0+\sqrt{0}=0.$$

Ответ

$$x=0.$$