Упр.990 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 990. Решите неравенство: а) x-(2x+4)^(1/3) < 0; б) 64v(-x)-x^2?0.

а) $$x-\sqrt[3]{2x+4}<0$$

Перенесём корень в правую часть:

$$x<\sqrt[3]{2x+4}$$

Возведём обе части в куб:

$$x^3<2x+4$$

$$x^3-2x-4<0$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$$

Тогда

$$ (x-2)(x^2+2x+2)<0 $$

У квадратичного множителя $$x^2+2x+2$$ дискриминант

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0,$$

а старший коэффициент положителен, значит $$x^2+2x+2>0$$ при всех $$x$$.

Следовательно, неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

$$x-2<0,$$

то есть

$$x<2.$$

б) $$64\sqrt{-x}-x^2\le 0$$

Перенесём $$x^2$$ вправо:

$$64\sqrt{-x}\le x^2$$

Область определения: $$-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4096(-x)\le x^4$$

$$x^4+4096x\ge 0$$

$$x(x^3+4096)\ge 0$$

$$x(x+16)(x^2-16x+256)\ge 0$$

Так как

$$x^2-16x+256>0$$

при всех $$x$$, получаем

$$x(x+16)\ge 0.$$

С учётом условия $$x\le 0$$ имеем:

$$x\le -16 \quad \text{или} \quad x=0.$$

Ответ

а) $$(-\infty;2)$$; б) $$(-\infty;-16]\cup\{0\}$$.