Упр.989 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (v(x+5)-1)/(5-v(x+5))?0; в) (x^2-2x-1)^0,5?14(x^2-2x-1)^(-0,5)-5;
б) ((1-x)^(1/3)-2)/((1-x)^(1/3)+3))?0; г) (x^2-3x+11)^0,5 > 8(x^3-3x+11)^(-0,5)-2.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\sqrt{x+5}.$$ Тогда неравенство принимает вид
$$\frac{t-1}{5-t}\ge 0.$$
Критические точки: $$t=1$$ и $$t=5.$$ С учётом области определения $$t\ge 0$$ получаем
$$1\le t<5.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$1\le \sqrt{x+5}<5,$$
$$1\le x+5<25,$$
$$-4\le x<20.$$
б) Обозначим $$t=\sqrt[3]{1-x}.$$ Тогда
$$\frac{t-2}{t+3}\ge 0.$$
Критические точки: $$t=-3$$ и $$t=2.$$ По знакам дроби
$$t<-3 \quad \text{или} \quad t\ge 2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\sqrt[3]{1-x}<-3 \;\Rightarrow\; 1-x<-27 \;\Rightarrow\; x>28,$$
$$\sqrt[3]{1-x}\ge 2 \;\Rightarrow\; 1-x\ge 8 \;\Rightarrow\; x\le -7.$$
в) Пусть $$y=x^2-2x-1.$$ Тогда неравенство имеет вид
$$\sqrt{y}\le \frac{14}{\sqrt{y}}-5.$$
Так как $$\sqrt{y}>0,$$ умножим на $$\sqrt{y}$$:
$$y+5\sqrt{y}-14\le 0.$$
Обозначим $$u=\sqrt{y}$$, тогда
$$u^2+5u-14\le 0,$$
$$ (u+7)(u-2)\le 0.$$
С учётом $$u\ge 0$$ получаем
$$0<u\le 2,$$
то есть
$$0<y\le 4.$$
Теперь решаем систему:
$$x^2-2x-1>0,$$
$$x^2-2x-1\le 4.$$
Первое неравенство:
$$x^2-2x-1>0,$$
$$x=1\pm \sqrt{2},$$
$$x<1-\sqrt{2}\quad \text{или}\quad x>1+\sqrt{2}.$$
Второе неравенство:
$$x^2-2x-5\le 0,$$
$$x=1\pm \sqrt{6},$$
$$1-\sqrt{6}\le x\le 1+\sqrt{6}.$$
Пересечение множеств даёт
$$[1-\sqrt{6};\,1-\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2};\,1+\sqrt{6}].$$
г) Пусть $$y=x^2-3x+11.$$ Тогда
$$\sqrt{y}>\frac{8}{\sqrt{y}}-2.$$
Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$\sqrt{y}>0$$:
$$y+2\sqrt{y}-8>0.$$
Обозначим $$u=\sqrt{y}$$, тогда
$$u^2+2u-8>0,$$
$$ (u+4)(u-2)>0.$$
С учётом $$u\ge 0$$ получаем
$$u>2,$$
то есть
$$y>4.$$
Но
$$x^2-3x+11>4 \;\Longleftrightarrow\; x^2-3x+7>0.$$
Дискриминант:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 7=9-28=-19<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-3x+7>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}.$$