Упр.988 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   а) $$\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a^{1/4}-b^{1/4}}-\left(\frac{a+(ab^3)^{1/4}}{a^{1/2}+(ab)^{1/4}}-(ab)^{1/4}\right)\cdot(a^{1/4}-b^{1/4})^{-1}$$;
   
   б) $$\frac{\left((x^{3/4}+a^{1/2}x^{1/4})(x^{1/2}+a^{1/2})^{-1}\right)^2+x+3}{x^{1/2}+3}$$.
2. Найдите множество решений неравенства $$\sqrt{25-x^2}+x(x-5)?\sqrt{2x^2-50}-5(5-x)$$.

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{25-x^2}+x(x-5)\le \sqrt{2x^2-50}-5(5-x).$$

Найдём область определения:

$$25-x^2\ge 0 \Rightarrow x^2\le 25,$$

$$2x^2-50\ge 0 \Rightarrow x^2\ge 25.$$

Следовательно, одновременно должно выполняться

$$x^2=25,\quad x=\pm 5.$$

Проверим эти значения.

При $$x=-5$$:

$$\sqrt{25-(-5)^2}+(-5)(-5-5)\le \sqrt{2\cdot(-5)^2-50}-5(5-(-5)),$$

$$0+50\le 0-50,$$

что неверно.

При $$x=5$$:

$$\sqrt{25-5^2}+5(5-5)\le \sqrt{2\cdot 5^2-50}-5(5-5),$$

$$0\le 0,$$

что верно.

Ответ

$$x=5$$