Упр.986 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x-8)v(15-5x) < 0; в) (24+5x-x^2)(x^2-5x-14)^(1/4)?0; б) (x^2-9)v(16-x^2) > 0; г) (x^2-3x+8)(x^2-x-56)^(1/4)?0.

1. а) $$\left(x-8\right)\sqrt{15-5x}<0$$

   Так как $$\sqrt{15-5x}\ge 0,$$ то произведение будет отрицательным только при

   $$x-8<0,\quad 15-5x>0.$$

   Отсюда

   $$x<8,\quad x<3.$$

   Пересечение этих условий:

   $$x\in(-\infty;3).$$

2. б) $$\left(x^2-9\right)\sqrt{16-x^2}>0$$

   Чтобы произведение было положительным, нужно

   $$x^2-9>0,\quad 16-x^2>0.$$

   Решаем неравенства:

   $$x^2-9>0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+3)>0 \;\Rightarrow\; x<-3 \text{ или } x>3,$$

   $$16-x^2>0 \;\Rightarrow\; -4<x<4.$$

   Пересечение:

   $$x\in(-4;-3)\cup(3;4).$$

3. в) $$\left(24+5x-x^2\right)\sqrt[4]{x^2-5x-14}\ge 0$$

   Четвёртый корень определён при

   $$x^2-5x-14\ge 0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-7)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -2 \text{ или } x\ge 7.$$

   Первый множитель:

   $$24+5x-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-5x-24\le 0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x-8)\le 0,$$

   откуда

   $$x\in[-3;8].$$

   Так как второй множитель неотрицателен, то произведение неотрицательно при выполнении обоих условий. Получаем

   $$x\in[-3;-2]\cup[7;8].$$

4. г) $$\left(x^2-3x+8\right)\sqrt[4]{x^2-x-56}\le 0$$

   Заметим, что

   $$x^2-3x+8>0$$

   для всех $$x,$$ так как

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 8=9-32=-23<0.$$

   Значит, произведение не может быть отрицательным, а для выполнения неравенства нужно, чтобы

   $$\sqrt[4]{x^2-x-56}=0.$$

   Это возможно при

   $$x^2-x-56=0 \;\Rightarrow\; (x-8)(x+7)=0,$$

   откуда

   $$x=-7 \text{ или } x=8.$$

Ответ

а) $$(-\infty;3)$$; б) $$(-4;-3)\cup(3;4)$$; в) $$[-3;-2]\cup[7;8]$$; г) $$\{-7;8\}$$.