Упр.985 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(x+2)+v(5x-1)+v(3x+10)?9; б) (x+5)^(1/3)+(2x-5)^(1/2)+(5x+1)^(1/4)?5.

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{5x-1}+\sqrt{3x+10}.$$

Каждое слагаемое возрастает на своей области определения, значит и функция $$f(x)$$ возрастает.

Найдём область определения:

$$x+2\ge 0,\quad 5x-1\ge 0,\quad 3x+10\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge -2,\quad x\ge \frac15,\quad x\ge -\frac{10}{3}.$$

Следовательно, $$x\ge \frac15.$$

Так как $$f(x)$$ возрастает, то неравенство

$$\sqrt{x+2}+\sqrt{5x-1}+\sqrt{3x+10}\le 9$$

равносильно условию

$$f(x)\le f(2),$$

поскольку

$$f(2)=\sqrt4+\sqrt9+\sqrt{16}=2+3+4=9.$$

Значит,

$$x\le 2.$$

С учётом области определения получаем

$$x\in \left[\frac15,\,2\right].$$

б) Рассмотрим функцию

$$g(x)=(x+5)^{\frac13}+(2x-5)^{\frac12}+(5x+1)^{\frac14}.$$

Каждое слагаемое возрастает на своей области определения, значит и функция $$g(x)$$ возрастает.

Найдём область определения:

$$x+5\ge 0,\quad 2x-5\ge 0,\quad 5x+1\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge -5,\quad x\ge \frac52,\quad x\ge -\frac15.$$

Следовательно, $$x\ge \frac52.$$

Так как $$g(x)$$ возрастает, то неравенство

$$ (x+5)^{\frac13}+(2x-5)^{\frac12}+(5x+1)^{\frac14}\le 5 $$

равносильно условию

$$g(x)\le g(3),$$

поскольку

$$g(3)=8^{\frac13}+1^{\frac12}+16^{\frac14}=2+1+2=5.$$

Значит,

$$x\le 3.$$

С учётом области определения получаем

$$x\in \left[\frac52,\,3\right].$$

Ответ

а) $$x\in \left[\frac15,\,2\right]$$; б) $$x\in \left[\frac52,\,3\right]$$.