Упр.984 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите значение выражения:
а) $$\left(b^6\right)^{\frac{1}{6}}$$ при $$b=-2$$;
в) $$\left(x^{10}\right)^{0{,}1}$$ при $$x=-7$$ и $$x=8$$;
г) $$\left(c^8\right)^{\frac{1}{8}}$$ при $$c=-3$$;
г) $$2y\left(y^4\right)^{0{,}25}$$ при $$y=-2$$ и $$y=3$$.
Решите неравенство:
а) $$\frac{\sqrt{x-4}-2}{8-\sqrt{x-4}}<2$$; в) $$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}>\frac{3}{5}\left(x-x^{-1}\right)$$;
б) $$\frac{\sqrt{2x-5}-1}{\sqrt{2x-5}+1}>3$$;
г) $$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}>\frac{3}{4}\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{2}{3}}\right)$$.

Подробный ответ

а) Обозначим $$t=\sqrt{x-4}$$, тогда $$t\ge 0$$ и неравенство принимает вид
$$\frac{t-2}{8-t}<2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{t-2-2(8-t)}{8-t}<0,$$
$$\frac{3t-18}{8-t}<0,$$
$$\frac{t-6}{8-t}<0.$$
Критические точки: $$t=6$$ и $$t=8$$. С учётом области определения $$t\ge 0$$ получаем
$$t\in[0,6)\cup(8,+\infty).$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$\sqrt{x-4}<6 \;\Rightarrow\; x<40,$$
$$\sqrt{x-4}>8 \;\Rightarrow\; x>68.$$
С учётом $$x\ge 4$$:
$$x\in[4,40)\cup(68,+\infty).$$
б) Пусть $$t=\sqrt{2x-5}$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$\frac{t-1}{t+1}>3.$$
Так как $$t+1>0$$, умножаем на него:
$$t-1>3(t+1),$$
$$t-1>3t+3,$$
$$-2t>4,$$
$$t<-2.$$
Но $$t\ge 0$$, значит решений нет.
в) Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$y>0$$ и
$$y+\frac1y>\frac35\left(y^2-\frac1{y^2}\right).$$
Преобразуем:
$$y+\frac1y>\frac35\left(y-\frac1y\right)\left(y+\frac1y\right).$$
Так как $$y+\frac1y>0$$, делим на него:
$$1>\frac35\left(y-\frac1y\right),$$
$$y-\frac1y<\frac53.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$y^2-\frac53y-1<0,$$
$$3y^2-5y-3<0.$$
Найдём корни:
$$D=25+36=61,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{61}}{6}.$$
Так как $$y>0$$, получаем
$$0<y<\frac{5+\sqrt{61}}{6}.$$
Следовательно,
$$0<x<\left(\frac{5+\sqrt{61}}{6}\right)^2=\frac{43+5\sqrt{61}}{18}.$$
г) Пусть $$y=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$y\ne 0$$ и
$$y+\frac1y>\frac34\left(y^2-\frac1{y^2}\right).$$
Преобразуем:
$$y+\frac1y>\frac34\left(y-\frac1y\right)\left(y+\frac1y\right).$$
Так как $$y+\frac1y$$ может быть как положительным, так и отрицательным, перенесём всё в одну сторону:
$$\left(y+\frac1y\right)\left(1-\frac34\left(y-\frac1y\right)\right)>0.$$
После упрощения получаем
$$\frac{3y^2-4y-3}{3y}<0.$$
Найдём корни числителя:
$$D=16+36=52,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{52}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{13}}{3}.$$
С учётом знака дроби и того, что $$y=\sqrt[3]{x}$$, получаем
$$0<y<\frac{2+\sqrt{13}}{3}.$$
Тогда
$$0<x<\left(\frac{2+\sqrt{13}}{3}\right)^3=\frac{86+25\sqrt{13}}{27}.$$