Упр.983 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Известно, что $$10^{0{,}3010}\approx 2$$ и $$10^{0{,}6990}\approx 5$$. Представьте в виде степени с основанием 10 число: а) 8; б) 25; в) 0,4; г) 0,04; д) 0,008.
2. Решите неравенство: а) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}<128^{\frac{1}{8}}$$; б) $$\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-9}}>\sqrt{x-3}$$.

а) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}<\sqrt[8]{128}.$$

Представим левую часть в виде степени числа $$x$$:

$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x\cdot x^{1/2}\cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{1+1/2+1/4}} = \sqrt{x^{7/4}} = x^{7/8}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$x^{7/8}<128^{1/8}.$$

Возводим обе части в 8-ю степень. Так как $$x\ge 0$$, знак неравенства не меняется:

$$x^7<128.$$

Отсюда

$$x<2.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:

$$x\in[0;2).$$

б) $$\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-9}}>\sqrt{x-3}.$$

Область определения:

$$x^2-9\ge 0,\quad x-3\ge 0.$$

Следовательно, $$x\ge 3.$$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$$2x+2\sqrt{x^2-9}>x-3.$$

Перенесём:

$$2\sqrt{x^2-9}>-x-3.$$

При $$x\ge 3$$ правая часть неположительна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x\ge 3.$$

Проверим это через преобразования:

$$4(x^2-9)>x^2+6x+9$$
$$3x^2-6x-45>0$$
$$x^2-2x-15>0$$
$$(x+3)(x-5)>0.$$

Отсюда

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>5.$$

С учётом области определения $$x\ge 3$$ остаётся

$$x>5.$$

Но при $$3\le x\le 5$$ исходное неравенство также выполняется, так как левая часть не меньше правой. Поэтому окончательно:

$$x\in[3;+\infty).$$

Ответ

а) $$[0;2)$$; б) $$[3;+\infty)$$.