Упр.982 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) x^(1/2)-7x^(1/4)+6 < 0; в) (x^(4/3)-4)/(x^(2/3)+2)-(x^(2/3)-1)/(x^(1/3)-1)) < 3; б) x^(1/3)-5x^(1/6)+6 > 0; г) (x^(6/5)-9)/(x^(3/5)-3)-(x^(4/5)-4)/(x^(2/5)+2 > 5.
а) Обозначим $$t=x^{\frac14}$$, тогда $$t\ge 0$$ и неравенство принимает вид
$$t^2-7t+6<0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-1\right)\left(t-6\right)<0.$$
Отсюда $$1<t<6$$, то есть
$$1<x^{\frac14}<6.$$
Возводим в четвёртую степень:
$$1<x<1296.$$
б) Пусть $$t=x^{\frac16}$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2-5t+6>0.$$
Разложим на множители:
$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)>0.$$
Следовательно, $$t<2$$ или $$t>3$$. С учётом $$t\ge 0$$ получаем
$$0\le t<2 \quad \text{или} \quad t>3.$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем
$$0\le x<64 \quad \text{или} \quad x>729.$$
в) Обозначим $$t=x^{\frac13}$$. Тогда
$$\frac{t^4-4}{t^2+2}-\frac{t^2-1}{t-1}<3.$$
Так как $$t^4-4=(t^2-2)(t^2+2)$$ и $$t^2-1=(t-1)(t+1)$$, получаем
$$t^2-2-(t+1)<3.$$
Тогда
$$t^2-t-6<0,$$
$$\left(t+2\right)\left(t-3\right)<0,$$
откуда $$-2<t<3.$$
Область определения: $$t\ne 1$$, то есть $$x\ne 1.$$
С учётом $$t=x^{\frac13}$$ и того, что $$t>-2$$ автоматически выполняется при всех $$x\ge 0$$, получаем
$$0\le x<27,\quad x\ne 1.$$
Значит,
$$[0;1)\cup(1;27).$$
г) Пусть $$t=x^{\frac15}$$. Тогда неравенство имеет вид
$$\frac{t^6-9}{t^3-3}-\frac{t^4-4}{t^2+2}>5.$$
Преобразуем дроби:
$$\frac{(t^3-3)(t^3+3)}{t^3-3}-\frac{(t^2-2)(t^2+2)}{t^2+2}>5,$$
$$t^3+3-t^2+2>5,$$
$$t^3-t^2>0,$$
$$t^2(t-1)>0.$$
Так как $$t^2\ge 0$$, то получаем $$t>1$$.
Область определения: $$t^3-3\ne 0,$$ то есть $$t\ne \sqrt[3]{3}.$$
Следовательно,
$$t>1,\quad t\ne \sqrt[3]{3}.$$
Возвращаясь к $$x$$, имеем
$$x>1,\quad x\ne 3\sqrt[3]{9}.$$
Значит,
$$\left(1;3\sqrt[3]{9}\right)\cup\left(3\sqrt[3]{9};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$\left(1;1296\right)$$; б) $$[0;64)\cup(729;+\infty)$$; в) $$[0;1)\cup(1;27)$$; г) $$\left(1;3\sqrt[3]{9}\right)\cup\left(3\sqrt[3]{9};+\infty\right).$$
