Упр.981 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
а) (2x-5)^(1/4) < (x+7)^(1/4); в) (x-5)^(1/6) < (x+1)^(1/3); б) (x^2-1)^(1/3) > (x+3)^(1/3); г) v(x-2) < (x+5)^(1/4).
а) $$\sqrt[4]{2x-5}<\sqrt[4]{x+7}$$
Так как функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ возрастает, то можно сравнить подкоренные выражения:
$$2x-5<x+7$$
$$x<12$$
Учитываем область определения:
$$2x-5\ge 0,\quad x\ge \frac52$$
Пересекаем условия:
$$x\in\left[\frac52;12\right)$$
б) $$\sqrt[3]{x^2-1}>\sqrt[3]{x+3}$$
Так как функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает, получаем:
$$x^2-1>x+3$$
$$x^2-x-4>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1+16=17$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$
Тогда
$$x<\frac{1-\sqrt{17}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{17}}{2}$$
Для кубического корня ограничений на область определения нет.
в) $$\sqrt[6]{x-5}<\sqrt[3]{x+1}$$
Положим $$t=\sqrt[6]{x-5}$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{(x-5)+6}$$
Удобнее возвести обе части в шестую степень, учитывая, что при $$x\ge 5$$ обе части неотрицательны:
$$x-5<(x+1)^2$$
$$x^2+x+6>0$$
Это неравенство верно при всех $$x$$, а область определения задаётся условием
$$x-5\ge 0,\quad x\ge 5$$
Значит,
$$x\in[5;+\infty)$$
г) $$\sqrt{x-2}<\sqrt[4]{x+5}$$
Возведём обе части в четвёртую степень. При этом учитываем, что обе части неотрицательны:
$$\left(\sqrt{x-2}\right)^4<x+5$$
$$\left(x-2\right)^2<x+5$$
$$x^2-4x+4<x+5$$
$$x^2-5x-1<0$$
Найдём корни:
$$D=25+4=29$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$$
Тогда
$$\frac{5-\sqrt{29}}{2}<x<\frac{5+\sqrt{29}}{2}$$
С учётом области определения $$x\ge 2$$ получаем:
$$x\in\left[2;\frac{5+\sqrt{29}}{2}\right)$$
Ответ
а) $$\left[\frac52;12\right)$$; б) $$\left(-\infty;\frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{17}}{2};+\infty\right)$$; в) $$[5;+\infty)$$; г) $$\left[2;\frac{5+\sqrt{29}}{2}\right)$$.
