Упр.980 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:
а) $$\left((27a)^{\frac{1}{3}}+(8a)^{\frac{1}{3}}\right)-\left(3{,}5^{-4}(343a)^{\frac{1}{3}}-30(0{,}001a)^{\frac{1}{3}}\right)$$;
б) $$ab\left(\frac{b}{a^2}\right)^{\frac{1}{3}}-ab\left(\frac{a}{b^2}\right)^{\frac{1}{3}}+\frac{a}{b}(ab^4)^{\frac{1}{3}}-\frac{a}{b}(a^4b)^{\frac{1}{3}}$$.
Найдите промежутки, на которых функция $$y=\sqrt{4x+1}-x+1$$ принимает:
а) отрицательные значения;
б) положительные значения.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4x+1}-x+1.$$

а) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает отрицательные значения:

$$\sqrt{4x+1}-x+1<0$$
$$\sqrt{4x+1}<x-1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$. Возведём обе части в квадрат:

$$4x+1<(x-1)^2$$
$$4x+1<x^2-2x+1$$
$$x^2-6x>0$$
$$x(x-6)>0.$$

Отсюда $$x<0$$ или $$x>6$$. С учётом области определения $$4x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac14,$$ и условия $$x>1$$ получаем:

$$x>6.$$

б) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает положительные значения:

$$\sqrt{4x+1}-x+1>0$$
$$\sqrt{4x+1}>x-1.$$

Если $$x<1$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Тогда:

$$x\ge -\frac14,\quad x<1.$$