Упр.980 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 980. Найдите промежутки, на которых функция y=v(4x+1)-x+1 принимает: а) отрицательные значения; б) положительные значения.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4x+1}-x+1.$$

а) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает отрицательные значения:

$$\sqrt{4x+1}-x+1<0$$
$$\sqrt{4x+1}<x-1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$. Возведём обе части в квадрат:

$$4x+1<(x-1)^2$$
$$4x+1<x^2-2x+1$$
$$x^2-6x>0$$
$$x(x-6)>0.$$

Отсюда $$x<0$$ или $$x>6$$. С учётом области определения $$4x+1\ge 0$$, то есть $$x\ge -\frac14,$$ и условия $$x>1$$ получаем:

$$x>6.$$

б) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает положительные значения:

$$\sqrt{4x+1}-x+1>0$$
$$\sqrt{4x+1}>x-1.$$

Если $$x<1$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Тогда:

$$x\ge -\frac14,\quad x<1.$$

Следовательно,

$$-\frac14\le x<1.$$

Ответ

а) $$\left(6;+\infty\right)$$; б) $$\left[-\frac14;1\right).$$