Упр.979 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение дроби: а) $$\frac{0{,}5^{1/2}}{5\sqrt{50}}$$; б) $$\frac{25^{1/3}}{0{,}04^{1/6}}$$; в) $$\frac{2\sqrt{108}}{\left(\frac{4}{3}\right)^{0{,}5}}$$; г) $$\frac{48^{0{,}25}}{243^{0{,}25}}$$.
2. Решите неравенство: а) $$\sqrt{x-4}>1-x$$; в) $$\sqrt{x^2-7x+12}x-5$$.

1. а) $$\sqrt{x-4} > 1-x$$

   Если $$1-x<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при $$x>1$$. С учётом области определения $$x-4\ge 0$$ получаем $$x\ge 4$$.

   Если $$1-x\ge 0$$, то $$x\le 1$$, но тогда условие $$x-4\ge 0$$ не выполняется. Следовательно, решений нет.

   Итак, $$x\in[4;+\infty)$$.

2. б) $$\sqrt{x-5} < 3-x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$3-x>0$$, то есть $$x<3$$. Но одновременно из области определения имеем $$x-5\ge 0$$, то есть $$x\ge 5$$.

   Эти условия несовместны, значит решений нет.

3. в) $$\sqrt{x^2-7x+12} < x-3$$

   Чтобы правая часть была положительной, нужно $$x-3>0$$, то есть $$x>3$$.

   Возведём в квадрат обе части:

   $$x^2-7x+12 < (x-3)^2$$
   $$x^2-7x+12 < x^2-6x+9$$
   $$-x<-3$$
   $$x>3$$

   Область определения:

   $$x^2-7x+12\ge 0$$
   $$(x-3)(x-4)\ge 0$$
   $$x\le 3 \text{ или } x\ge 4$$

   С учётом условия $$x>3$$ получаем $$x\ge 4$$.

4. г) $$\sqrt{x^2-6x-16} > x-5$$

   Если $$x-5<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при $$x<5$$, но при этом нужно учитывать область определения.

   Если $$x-5\ge 0$$, то возводим в квадрат:

   $$x^2-6x-16 > (x-5)^2$$
   $$x^2-6x-16 > x^2-10x+25$$
   $$4x>41$$
   $$x>10\frac14$$

   Область определения:

   $$x^2-6x-16\ge 0$$
   $$(x-8)(x+2)\ge 0$$
   $$x\le -2 \text{ или } x\ge 8$$

   При $$x<5$$ и с учётом ОДЗ получаем $$x\le -2$$. При $$x>10\frac14$$ и с учётом ОДЗ получаем $$x>10\frac14$$.

Ответ

а) $$[4;+\infty)$$; б) решений нет; в) $$[4;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-2]\cup\left(10\frac14;+\infty\right)$$.