Упр.979 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v(x-4) > 1-x; в) v(x^2-7x+12) < x-3; б) v(x-5) < 3-x; г) v(x^2-6x-16) > x-5.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x-4} > 1-x$$
Если $$1-x<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при $$x>1$$. С учётом области определения $$x-4\ge 0$$ получаем $$x\ge 4$$.
Если $$1-x\ge 0$$, то $$x\le 1$$, но тогда условие $$x-4\ge 0$$ не выполняется. Следовательно, решений нет.
Итак, $$x\in[4;+\infty)$$.
б) $$\sqrt{x-5} < 3-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$3-x>0$$, то есть $$x<3$$. Но одновременно из области определения имеем $$x-5\ge 0$$, то есть $$x\ge 5$$.
Эти условия несовместны, значит решений нет.
в) $$\sqrt{x^2-7x+12} < x-3$$
Чтобы правая часть была положительной, нужно $$x-3>0$$, то есть $$x>3$$.
Возведём в квадрат обе части:
$$ x^2-7x+12 < (x-3)^2 $$
$$ x^2-7x+12 < x^2-6x+9 $$
$$ -x<-3 $$
$$ x>3 $$
Область определения:
$$ x^2-7x+12\ge 0 $$
$$ (x-3)(x-4)\ge 0 $$
$$ x\le 3 \text{ или } x\ge 4 $$
С учётом условия $$x>3$$ получаем $$x\ge 4$$.
г) $$\sqrt{x^2-6x-16} > x-5$$
Если $$x-5<0$$, то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется при $$x<5$$, но при этом нужно учитывать область определения.
Если $$x-5\ge 0$$, то возводим в квадрат:
$$ x^2-6x-16 > (x-5)^2 $$
$$ x^2-6x-16 > x^2-10x+25 $$
$$ 4x>41 $$
$$ x>10\frac14 $$
Область определения:
$$ x^2-6x-16\ge 0 $$
$$ (x-8)(x+2)\ge 0 $$
$$ x\le -2 \text{ или } x\ge 8 $$
При $$x<5$$ и с учётом ОДЗ получаем $$x\le -2$$. При $$x>10\frac14$$ и с учётом ОДЗ получаем $$x>10\frac14$$.