Упр.977 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) v(x^2+8x-9) < v11; в) v((x-3)/(x+2)) < 1; б) v(2x^2-11x+18) > 2; г) v((x+5)/(x-7)) > 2.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x^2+8x-9}<\sqrt{11}$$
Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:
$$x^2+8x-9<11$$
$$x^2+8x-20<0$$
$$x^2+8x-20=(x+10)(x-2)$$
Тогда
$$-10<x<2$$
Теперь учтём область определения:
$$x^2+8x-9\ge 0$$
$$x^2+8x-9=(x+9)(x-1)$$
$$x\le -9 \text{ или } x\ge 1$$
Пересекаем с найденным промежутком:
$$(-10;2)\cap\bigl((-\infty;-9]\cup[1;+\infty)\bigr)=(-10;-9]\cup[1;2)$$
б) $$\sqrt{2x^2-11x+18}>2$$
Возведём в квадрат:
$$2x^2-11x+18>4$$
$$2x^2-11x+14>0$$
$$2x^2-11x+14=(2x-7)(x-2)$$
Корни: $$x=2$$ и $$x=\frac72$$. Тогда
$$x<2 \text{ или } x>\frac72$$
Проверим область определения:
$$2x^2-11x+18\ge 0$$
$$D=121-144=-23<0$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$2x^2-11x+18>0$$ при всех $$x$$, значит ограничений нет.
Итак,
$$(-\infty;2)\cup\left(\frac72;+\infty\right)$$
в) $$\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}<1$$
Так как левая часть неотрицательна, возведём в квадрат:
$$\frac{x-3}{x+2}<1$$
$$\frac{x-3-(x+2)}{x+2}<0$$
$$\frac{-5}{x+2}<0$$
Отсюда $$x+2>0$$, то есть $$x>-2$$.
Теперь учтём область определения корня:
$$\frac{x-3}{x+2}\ge 0$$
Отсюда
$$x<-2 \text{ или } x\ge 3$$
Пересечение условий даёт:
$$[3;+\infty)$$
г) $$\sqrt{\frac{x+5}{x-7}}>2$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{x+5}{x-7}>4$$
$$\frac{x+5-4(x-7)}{x-7}>0$$
$$\frac{-3x+33}{x-7}>0$$
$$\frac{x-11}{x-7}<0$$
Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Получаем:
$$7<x<11$$