Упр.975 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 975. Докажите тождество (((a^29)^(1/2001))^23+((a^23)^(1/2001))^29)/(a^(1/3)+b^(1/3))=1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makarichev_ugl9 975 95

Преобразуем числитель:

$$\left(\sqrt[2001]{a^{29}}\right)^{23}=a^{\frac{29\cdot 23}{2001}}, \qquad \left(\sqrt[2001]{b^{23}}\right)^{29}=b^{\frac{23\cdot 29}{2001}}.$$

Так как $$29\cdot 23=667,$$ получаем

$$\left(\sqrt[2001]{a^{29}}\right)^{23}+\left(\sqrt[2001]{b^{23}}\right)^{29} = a^{\frac{667}{2001}}+b^{\frac{667}{2001}}.$$

Заметим, что

$$\frac{667}{2001}=\frac{1}{3},$$

значит

$$a^{\frac{667}{2001}}+b^{\frac{667}{2001}}=a^{\frac13}+b^{\frac13}.$$

Тогда левая часть тождества равна

$$\frac{a^{\frac13}+b^{\frac13}}{a^{\frac13}+b^{\frac13}}=1.$$

Ответ

Тождество доказано.