Упр.972 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Найдите нули функции и промежутки, на которых f(x) < 0 и f(x) > 0; промежутки, на которых функция f(x) убывает, возрастает.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -2x-7, & x<-2,\\ -x^2+1, & -2\le x\le 2,\\ 2x-7, & x>2. \end{cases} $$

Найдём нули функции на каждом промежутке.

1) При $$x<-2$$:

$$ -2x-7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{2}=-3{,}5. $$

Это значение подходит, так как $$-3{,}5<-2$$.

2) При $$-2\le x\le 2$$:

$$ -x^2+1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1. $$

Оба корня принадлежат отрезку $$[-2;2]$$.

3) При $$x>2$$:

$$ 2x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{2}=3{,}5. $$

Это значение подходит, так как $$3{,}5>2$$.

Значит, нули функции:

$$ x=-3{,}5,\,-1,\,1,\,3{,}5. $$

Определим знаки функции по промежуткам между нулями:

• $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3{,}5)\cup(-1;\,1)\cup(3{,}5;\,+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-3{,}5;\,-1)\cup(1;\,3{,}5)$$.

Теперь найдём промежутки возрастания и убывания.

На промежутке $$x<-2$$ функция $$f(x)=-2x-7$$ — линейная с отрицательным коэффициентом, значит, убывает.

На промежутке $$-2\le x\le 2$$ функция $$f(x)=-x^2+1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Она возрастает при $$x\in[-2;0]$$ и убывает при $$x\in[0;2]$$.

На промежутке $$x>2$$ функция $$f(x)=2x-7$$ — линейная с положительным коэффициентом, значит, возрастает.

Итак, функция возрастает при

$$ x\in[-2;0]\cup[2;+\infty), $$

убывает при

$$ x\in(-\infty;-2]\cup[0;2]. $$

Ответ

$$ x=-3{,}5,\,-1,\,1,\,3{,}5; $$

$$ f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;\,-3{,}5)\cup(-1;\,1)\cup(3{,}5;\,+\infty); $$

$$ f(x)<0 \text{ при } x\in(-3{,}5;\,-1)\cup(1;\,3{,}5); $$

$$ f(x) \text{ возрастает при } x\in[-2;0]\cup[2;+\infty), $$

$$ f(x) \text{ убывает при } x\in(-\infty;-2]\cup[0;2]. $$