Упр.972 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Вынесите множитель из-под знака корня:
а) $$\sqrt[3]{-54a^4}$$;
б) $$\sqrt[4]{48b^5}$$, где $$b \ge 0$$;
в) $$\sqrt[6]{-a^7b^8}$$.
Постройте график функции
$$f(x)=\begin{cases}-2x-7, & \text{если } x<-2;\\-x^2+1, & \text{если } -2\le x\le 2;\\2x-7, & \text{если } x>2.\end{cases}$$
Найдите нули функции и промежутки, на которых $$f(x)<0$$ и $$f(x)>0$$; промежутки, на которых функция $$f(x)$$ убывает, возрастает.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -2x-7, & x<-2,\\ -x^2+1, & -2\le x\le 2,\\ 2x-7, & x>2. \end{cases}$$

Найдём нули функции на каждом промежутке.

1) При $$x<-2$$:

$$-2x-7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{2}=-3{,}5.$$

Это значение подходит, так как $$-3{,}5<-2$$.

2) При $$-2\le x\le 2$$:

$$-x^2+1=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Оба корня принадлежат отрезку $$[-2;2]$$.

3) При $$x>2$$:

$$2x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

Это значение подходит, так как $$3{,}5>2$$.

Значит, нули функции:

$$x=-3{,}5,\,-1,\,1,\,3{,}5.$$

Определим знаки функции по промежуткам между нулями:

$$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3{,}5)\cup(-1;\,1)\cup(3{,}5;\,+\infty)$$;
$$f(x)<0$$ при $$x\in(-3{,}5;\,-1)\cup(1;\,3{,}5)$$.

Теперь найдём промежутки возрастания и убывания.

На промежутке $$x<-2$$ функция $$f(x)=-2x-7$$ — линейная с отрицательным коэффициентом, значит, убывает.

На промежутке $$-2\le x\le 2$$ функция $$f(x)=-x^2+1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Она возрастает при $$x\in[-2;0]$$ и убывает при $$x\in[0;2]$$.

На промежутке $$x>2$$ функция $$f(x)=2x-7$$ — линейная с положительным коэффициентом, значит, возрастает.

Итак, функция возрастает при

$$x\in[-2;0]\cup[2;+\infty),$$

убывает при

$$x\in(-\infty;-2]\cup[0;2].$$