Упр.971 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Внесите множитель под знак корня: а) $$ab\cdot 5^{\frac{1}{4}}$$, где $$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$; в) $$-ab\cdot 2^{\frac{1}{6}}$$, где $$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$; б) $$ab\cdot 3^{\frac{1}{4}}$$, где $$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$; г) $$-ab\cdot 2^{\frac{1}{6}}$$, где $$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$.

Решите уравнение: а) $$(x^2-6x+9)^{0{,}5}+(x^2-2x+1)^{0{,}5}=4$$; б) $$\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}=1$$.

а)

$$(x^2-6x+9)^{0,5}+(x^2-2x+1)^{0,5}=4$$
$$\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x-1)^2}=4$$
$$|x-3|+|x-1|=4$$
Рассмотрим случаи.

1) Если $$x\le 1$$, то
$$3-x+1-x=4$$
$$2x=0,\quad x=0.$$

2) Если $$1<x\le 3$$, то
$$3-x+x-1=4$$
$$2=4,$$
что невозможно.

3) Если $$x>3$$, то
$$x-3+x-1=4$$
$$2x=8,\quad x=4.$$

Следовательно, для первого уравнения получаем $$x=0$$ и $$x=4$$.

б)

$$\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}=1$$
Область определения: $$x\ge 2$$.

Возведём обе части в квадрат:
$$x+2-4\sqrt{x-2}=1$$
$$x+1=4\sqrt{x-2}$$
Удобно сделать замену $$t=\sqrt{x-2}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2+2$$. Получаем:
$$t^2+2+2-4t=1$$
$$t^2-4t+3=0$$
$$(t-1)(t-3)=0$$
$$t=1 \text{ или } t=3.$$
Тогда
$$\sqrt{x-2}=1 \Rightarrow x=3,$$
$$\sqrt{x-2}=3 \Rightarrow x=11.$$
Оба значения подходят.

Ответ

а) $$0; 4$$
б) $$3; 11$$