Упр.970 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение корня $$\left(\frac{1}{3}\left(11\ldots1-33\ldots300\ldots0\right)\right)^{\frac{1}{3}}$$ ($$n\in\mathbb{N}$$).
2. Найдите корни уравнения:
   а) $$(x^2-25)\sqrt{x^2+3x-28}=0$$;
   б) $$(x^2-9)\sqrt{6+x-x^2}=0$$;
   в) $$(x^2+x-72)\left(\frac{x+9}{x-9}\right)^{\frac{1}{4}}=0$$;
   г) $$(x^4-16)(x^3-4x)^{\frac{1}{4}}=0$$.

1. а) $$\left(x^2-25\right)\sqrt{x^2+3x-28}=0.$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$x^2-25=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 5;$$

   $$x^2+3x-28=0 \quad \Rightarrow \quad (x+7)(x-4)=0 \quad \Rightarrow \quad x=-7,\;4.$$

   Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2+3x-28\ge 0 \quad \Rightarrow \quad (x+7)(x-4)\ge 0,$$

   откуда $$x\le -7 \text{ или } x\ge 4.$$

   Из найденных корней подходят $$x=-7,\;4,\;5.$$

2. б) $$\left(x^2-9\right)\sqrt{6+x-x^2}=0.$$

   Первый множитель:

   $$x^2-9=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 3.$$

   Второй множитель:

   $$6+x-x^2=0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x-6=0 \quad \Rightarrow \quad (x-3)(x+2)=0,$$

   $$x=-2,\;3.$$

   Область определения:

   $$6+x-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad (x+2)(x-3)\le 0,$$

   то есть $$-2\le x\le 3.$$

   Подходят корни $$x=-2,\;3.$$

3. в) $$\left(x^2+x-72\right)\sqrt[4]{\frac{x+9}{x-9}}=0.$$

   Первый множитель:

   $$x^2+x-72=0 \quad \Rightarrow \quad (x+9)(x-8)=0,$$

   $$x=-9,\;8.$$

   Второй множитель:

   $$\frac{x+9}{x-9}=0 \quad \Rightarrow \quad x+9=0 \quad \Rightarrow \quad x=-9.$$

   Область определения:

   $$\frac{x+9}{x-9}\ge 0,\quad x\ne 9.$$

   Отсюда $$x\le -9 \text{ или } x>9.$$

   Из найденных корней подходит только $$x=-9.$$

4. г) $$\left(x^4-16\right)\sqrt[4]{x^3-4x}=0.$$

   Первый множитель:

   $$x^4-16=0 \quad \Rightarrow \quad x^4=16 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 2.$$

   Второй множитель:

   $$x^3-4x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x^2-4)=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-2)(x+2)=0,$$

   $$x=-2,\;0,\;2.$$

   Область определения:

   $$x^3-4x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x(x-2)(x+2)\ge 0,$$

   откуда $$-2\le x\le 0 \text{ или } x\ge 2.$$

   Подходят корни $$x=-2,\;0,\;2.$$

Ответ

а) $$-7,\;4,\;5$$; б) $$-2,\;3$$; в) $$-9$$; г) $$-2,\;0,\;2$$.